一、理解二次函數(shù)的內(nèi)涵及本質(zhì) .

二次函數(shù) y=ax2 ＋ bx ＋ c （ a ≠ 0 ， a 、 b 、 c 是常數(shù)）中含有兩個變量 x 、 y ，我們只要先確定其中一個變量，就可利用解析式求出另一個變量，即得到一組解；而一組解就是一個點的坐標(biāo)，實際上二次函數(shù)的圖象就是由無數(shù)個這樣的點構(gòu)成的圖形 .

二、熟悉幾個特殊型二次函數(shù)的圖象及性質(zhì) .

1 、通過描點，觀察 y=ax2 、 y=ax2 ＋ k 、 y=a （ x ＋ h ） 2 圖象的形狀及位置，熟悉各自圖象的基本特征，反之根據(jù)拋物線的特征能迅速確定它是哪一種解析式 .

2 、理解圖象的平移口訣“加上減下，加左減右” .

y=ax2 → y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ k “加上減下”是針對 k 而言的，“加左減右”是針對 h 而言的 .

總之，如果兩個二次函數(shù)的二次項系數(shù)相同，則它們的拋物線形狀相同，由于頂點坐標(biāo)不同，所以位置不同，而拋物線的平移實質(zhì)上是頂點的平移，如果拋物線是一般形式，應(yīng)先化為頂點式再平移 .

3 、通過描點畫圖、圖象平移，理解并明確解析式的特征與圖象的特征是完全相對應(yīng)的，我們在解題時要做到胸中有圖，看到函數(shù)就能在頭腦中反映出它的圖象的基本特征；

4 、在熟悉函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上，通過觀察、分析拋物線的特征，來理解二次函數(shù)的增減性、極值等性質(zhì)；利用圖象來判別二次函數(shù)的系數(shù) a 、 b 、 c 、△以及由系數(shù)組成的代數(shù)式的符號等問題 .

三、要充分利用拋物線“頂點”的作用 .

1 、要能準(zhǔn)確靈活地求出“頂點” . 形如 y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ K →頂點（－ h,k ），對于其它形式的二次函數(shù)，我們可化為頂點式而求出頂點 .

2 、理解頂點、對稱軸、函數(shù)最值三者的關(guān)系 . 若頂點為（－ h ， k ），則對稱軸為 x= － h ， y 最大（?。?=k ；反之，若對稱軸為 x=m ， y 最值 =n ，則頂點為（ m ， n ）；理解它們之間的關(guān)系，在分析、解決問題時，可達到舉一反三的效果 .

3 、利用頂點畫草圖 . 在大多數(shù)情況下，我們只需要畫出草圖能幫助我們分析、解決問題就行了，這時可根據(jù)拋物線頂點，結(jié)合開口方向，畫出拋物線的大致圖象 .

四、理解掌握拋物線與坐標(biāo)軸交點的求法 .

一般地，點的坐標(biāo)由橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)組成，我們在求拋物線與坐標(biāo)軸的交點時，可優(yōu)先確定其中一個坐標(biāo)，再利用解析式求出另一個坐標(biāo) . 如果方程無實數(shù)根，則說明拋物線與 x 軸無交點 .

從以上求交點的過程可以看出，求交點的實質(zhì)就是解方程，而且與方程的根的判別式聯(lián)系起來，利用根的判別式判定拋物線與 x 軸的交點個數(shù) .

五、靈活應(yīng)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 .

用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式是我們求解析式時最常規(guī)有效的方法，求解析式時往往可選擇多種方法，如能綜合利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，不僅可以簡化計算，而且對進一步理解二次函數(shù)的本質(zhì)及數(shù)與形的關(guān)系大有裨益 .

二次函數(shù)y=ax2

學(xué)習(xí)要求:

1．知道二次函數(shù)的意義．

2．會用描點法畫出函數(shù)y＝ax2的圖象，知道拋物線的有關(guān)概念．

重點難點解析

1.本節(jié)重點是二次函數(shù)的概念和二次函數(shù)y＝ax2的圖象與性質(zhì)；難點是根據(jù)圖象概括二次函數(shù)y＝ax2的性質(zhì).

2.形如＝ax2+bx+c(其中a、b、c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)都是二次函數(shù).解析式中只能含有兩

個變量x、y，且x的二次項的系數(shù)不能為0，自變量x的取值范圍通常是全體實數(shù)，但在實際問題中應(yīng)使實際量有意義。如圓面積S與圓半徑R的關(guān)系式S＝πR2中，半徑R只能取非負(fù)數(shù)。

3.拋物線y＝ax2的形狀是由a決定的。a的符號決定拋物線的開口方向，當(dāng)a＞0時，開口向上，拋物線在y軸的上方(頂點在x軸上)，并向上無限延伸；當(dāng)a＜0時，開口向下，拋物線在x軸下方(頂點在x軸上)，并向下無限延伸。｜a｜越大，開口越小；｜a｜越小，開口越大.

4.畫拋物線y＝ax2時，應(yīng)先列表，再描點，最后連線。列表選取自變量x值時常以0為中心，選取便于計算、描點的整數(shù)值，描點連線時一定要用光滑曲線連接，并注意變化趨勢。

本節(jié)命題主要是考查二次函數(shù)的概念，二次函數(shù)y＝ax2的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用。

核心知識

規(guī)則1

二次函數(shù)的概念:

一般地，如果是常數(shù)，那么，y叫做x的二次函數(shù)．

規(guī)則2

拋物線的有關(guān)概念:

圖13-14

如圖13-14，函數(shù)y=x2的圖象是一條關(guān)于y軸對稱的曲線，這條曲線叫拋物線．實際上，二次函數(shù)的圖象都是拋物線．拋物線y=x2是開口向上的,y軸是這條拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是拋物線的頂點．

規(guī)則3

拋物線y=ax2的性質(zhì):

一般地，拋物線y=ax2的對稱軸是y軸，頂點是原點，當(dāng)a＞0時，拋物線y=ax2的開口向上，當(dāng)a＜0時，拋物線y=ax2的開口向下．

規(guī)則4

1.二次函數(shù)的概念

(1)定義：一般地，如果y＝ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)，那么，y叫做x的的二次函數(shù). (2)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的結(jié)構(gòu)特征是：等號左邊是函數(shù)y，右邊是自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2.其中一次項系數(shù)b和常數(shù)項c可以是任意實數(shù)，而二次項系數(shù)a必須是非零實數(shù)，即a≠0.

2.二次函數(shù)y＝ax2的圖像

圖13-1

用描點法畫出二次函數(shù)y＝x2的圖像，如圖13-1，它是一條關(guān)于y軸對稱的曲線，這樣的曲線叫做拋物線.

因為拋物線y＝x2關(guān)于y軸對稱，所以y軸是這條拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是拋物線的頂點，從圖上看，拋物線y＝x2的頂點是圖象的最低點.因為拋物線y＝x2有最低點.所以函數(shù)y＝x2有最小值，它的最小值就是最低點的縱坐標(biāo).

3.二次函數(shù)y＝ax2的性質(zhì)

函數(shù)

圖像

開口方向

頂點坐標(biāo)

對稱軸

函數(shù)變化

最大(小)值

y=ax2

a＞0

向上

(0,0)

Y軸

x＞0時，y隨x增大而增大；

x＜0時，y隨x增大而減小.

當(dāng)x＝0時，y最小＝0.

y=ax2

a＜0

向下

(0,0)

Y軸

x＞0時，y隨x增大而減小；

x＜0時，y隨x增大而增大.

當(dāng)x＝0時，y最大＝0.

4.二次函數(shù)y＝ax2的圖像的畫法

用描點法畫二次函數(shù)y＝ax2的圖像時，應(yīng)在頂點的左、右兩側(cè)對稱地選取自變量x的值，然后計算出對應(yīng)的y值，這樣的對應(yīng)值選取越密集，描出的圖像越準(zhǔn)確.

二次函數(shù)y=ax2+bx+c

學(xué)習(xí)要求：

1．會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象．

2．能利用圖象或通過配方確定拋物線的開口方向及對稱軸、頂點、的位置．

*3．會由已知圖象上三個點的坐標(biāo)求出二次函數(shù)的解析式．

重點難點

1.本節(jié)重點是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)的理解及靈活運用，難點是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的性質(zhì)和通過配方把解析式化成y＝a(x-h)2+k的形式。

2.學(xué)習(xí)本小節(jié)需要仔細(xì)觀察歸納圖象的特點以及不同圖象之間的關(guān)系。把不同的圖象聯(lián)系起來，找出其共性。

一般地幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)a相同，那么拋物線的開口方向、開口大小(即形狀)完全相同，只是位置不同.

任意拋物線y＝a(x-h)2+k可以由拋物線y＝ax2經(jīng)過適當(dāng)?shù)仄揭频玫?，具體平移方法如下圖所示：

注意：上述平移的規(guī)律是：“h值正、負(fù)，右、左移；k值正、負(fù)，上、下移”實際上有關(guān)拋物線的平移問題，不能死記硬背平移規(guī)律，只要先將其解析式化為頂點式，然后根據(jù)它們的頂點的位置關(guān)系，確定平移方向和平移的距離非常簡便.

圖13-11

例如，要研究拋物線L1∶y＝x2-2x+3與拋物線L2∶y＝x2的位置關(guān)系，可將y＝x2-2x+3通過配方變成頂點式y(tǒng)＝(x-1)2+2，求出其頂點M1(1，2)，因為L2的頂點為M2(0，0)，根據(jù)它們的頂點的位置，容易看出：由L2向右平移1個單位，再向上平移2個單位，即得L1；反之，由L1向左平移1個單位，再向下平移2個單位，即得L2.

二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與y＝ax2的圖象形狀完全一樣，它們的性質(zhì)也有相似之處。當(dāng)a＞0時，兩條拋物線的開口都向上，并向上無限延伸，拋物線有最低點，y有最小值，當(dāng)a＜0時，開口都向下，并向下無限延伸，拋物線有最高點，y有最大值.

3.畫拋物線時一定要先確定開口方向和對稱軸、頂點位置，再利用函數(shù)對稱性列表，這樣描點連線后得到的才是完整的，比較準(zhǔn)確的圖象。否則畫出的圖象，往往只是其中一部分。例如畫y＝- (x+1)2-1的圖象。

列表：

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-3

-1.5

-1

-1.5

-3

-5.5

-9

描點，連線成如圖13-11所示不能反映其全貌的圖象。

正解：由解析式可知，圖象開口向下，對稱軸是x＝-1,頂點坐標(biāo)是(-1，-1)

列表：

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

y

-5.5

-3

-1.5

-1

-1.5

-1.5

-5.5

描點連線：如圖13-12

圖13-12

4.用配方法將二次函數(shù)y＝ax2+bx+c化成y＝a(x-h)2+k的形式，首先要提出二次項系數(shù)a。常犯的錯誤只提第一項，后面漏提。如y＝- x2+6x-21 寫成y＝- (x2+6x-21)或y＝- (x2-12x-42)把符號弄錯，主要原因是沒有掌握添括號的規(guī)則。

本節(jié)命題主要考查二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)及其在實際生活中的運用。既有填空題、選擇題，又有解答題，與方程、幾何、一次函數(shù)的綜合題常作為中考壓軸題。

核心知識

規(guī)則1

拋物線 y=a(x-h)2+k 的性質(zhì):

一般地，拋物線 y=a(x-h)2+k 與 y=ax2 形狀相同，位置不同．拋物線 y=a(x-h)2+k 有如下特點：

(l) a＞0時，開口向上；a＜0時，開口向下；

(2) 對稱軸是直線x＝h；

(3) 頂點坐標(biāo)是(h，k)．

規(guī)則2

二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的性質(zhì):

y=ax2+bx+c （ a，b，c 是常數(shù)，a≠0）是二次函數(shù)，圖象是拋物線．利用配方，可以把二次函數(shù)表示成 y=a(x-h)2+k 的形式，由此可以確定這條拋物線的對稱軸是直線 ，頂點坐標(biāo)是 ，當(dāng)a＞0時，開口向上；a＜0時，開口向下．

規(guī)則3

1.二次函數(shù)解析式的幾種形式

(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c為常數(shù)，a≠0).

(2)頂點式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù)，a≠0).

(3)兩根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標(biāo)，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根，a≠0.

說明：(1)任何一個二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點式y(tǒng)＝a(x-h)2+k，拋物線的頂點坐標(biāo)是(h,k)，h＝0時，拋物線y＝ax2+k的頂點在y軸上；當(dāng)k＝0時，拋物線a(x-h)2的頂點在x軸上；當(dāng)h＝0且k＝0時，拋物線y＝ax2的頂點在原點.

(2)當(dāng)拋物線y＝ax2+bx+c與x軸有交點時，即對應(yīng)二次方程ax2+bx+c＝0有實數(shù)根x1和

x2存在時，根據(jù)二次三項式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函數(shù)y＝ax2+bx+c可轉(zhuǎn)化為兩根式y(tǒng)＝a(x-x1)(x-x2).

2.二次函數(shù)解析式的確定

確定二次函數(shù)解析式，一般仍用待定系數(shù)法.由于二次函數(shù)解析式有三個待定系數(shù)a、b、c(或a、h、k或a、x1、x2)，因而確定二次函數(shù)解析式需要已知三個獨立的條件.當(dāng)已知拋物線上任意三個點的坐標(biāo)時，選用一般式比較方便；當(dāng)已知拋物線的頂點坐標(biāo)時，選用頂點式比較方便；當(dāng)已知拋物線與x軸兩個點的坐標(biāo)(或橫坐標(biāo)x1,x2)時，選用兩根式較為方便.

注意：當(dāng)選用頂點式或兩根式求二次函數(shù)解析式時，最后一般都要化一般式.

3.二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖像

二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖像是對稱軸平行于(包括重合)y軸的拋物線.

4.二次函數(shù)的性質(zhì)

根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖像可歸納其性質(zhì)如下表：

函數(shù)

二次函數(shù)y＝ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)

圖

像

a＞0

a＜0

(1)拋物線開口向上，并向上無限延伸.

(2)對稱軸是x＝- ，頂點坐標(biāo)是(- , ).

(3)當(dāng)x＜- 時，y隨x的增大而減小；當(dāng)x＞- 時，y隨x的增大而增大.

(4)拋物線有最低點，當(dāng)x＝- 時，y有最小值，y最小值＝ .

(1) )拋物線開口向下，并向下無限延伸.

(2)對稱軸是x＝- ，頂點坐標(biāo)是(- , ).

(3)當(dāng)x＜- 時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＞- 時，y隨x的增大而減小.

(4)拋物線有最高點，當(dāng)x＝- 時，y有最大值，y最大值＝ .

5.求拋物線的頂點、對稱軸、最值的方法

①配方法：將解析式化為y＝a(x-h)2+k的形式，頂點坐標(biāo)(h,k)，對稱軸為直線x＝h，若a＞0，y有最小值，當(dāng)x＝h時，y最小值＝k，若a＜0，y有最大值，當(dāng)x＝h時，y最大值＝k.

②公式法：直接利用頂點坐標(biāo)公式(- , ),求其頂點；對稱軸是直線x＝- ,若a＞0，y有最小值，當(dāng)x＝- 時，y最小值＝ ，若a＜0，y有最大值，當(dāng)x＝- 時，y最大值＝ .

6.二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖像的畫法

因為二次函數(shù)的圖像是拋物線，是軸對稱圖形，所以作圖時常用簡化的描點法和五點法，其步驟是：

(1)先找出頂點坐標(biāo)，畫出對稱軸；

(2)找出拋物線上關(guān)于對稱軸的四個點(如與坐標(biāo)軸的交點等)；

(3)把上述五個點按從左到右的順序用平滑曲線連結(jié)起來.

7.二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖像的位置與a、b、c及Δ符號有密切的關(guān)系(見下表)：

項

目

字

母

字母的符號

圖像的位置

a

a＞0

a＜0

開口向上 開口向下

b

b=0 ab＞0 ab＜0

對稱軸為y軸 對稱軸在y軸左側(cè) 對稱軸在y軸右側(cè)

c

c=0 c＞0 c＜0

經(jīng)過原點 與y軸正半軸相交 與y軸負(fù)半軸相交

8.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖像(拋物線)與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)x1、x2，是對應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個實數(shù)根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：

Δ＞0 拋物線與x軸有2個交點；

Δ＝0 拋物線與x軸有1個交點；

Δ＜0 物線與x軸有0個交點(沒有交點).