快樂課堂學(xué)數(shù)學(xué)-多余老師趣講“一元一次方程”-華東師范大學(xué)出版社七年級下冊

一、 本單元概述

我們小學(xué)時，就已經(jīng)學(xué)習(xí)過了“方程”，并且會“解方程”。

小學(xué)學(xué)習(xí)的方程，就是“一元一次方程”，只是那時沒有“元”和“次”的概念而已，現(xiàn)在到了初中，給起了個專用名字。

其實，我們從小學(xué)一年級就接觸方程了，并會解最簡單的方程。只不過那時，沒有出現(xiàn)“字母符號”，而是用“符號（  ）”來代表“未知數(shù)”，并且直接“填上值”。

如：2+（  ）=5，（  ）里填“3”。

所以，對于最簡單的“一元一次方程”，我們就可以根據(jù)記憶或根據(jù)“逆運算”直接得出解。

后來，正式接觸方程后，知道了“等式的性質(zhì)”，就可以解稍復(fù)雜點的一元一次方程。

那么，對于任意形式的一元一次方程，用什么方法，使解方程變得“簡潔、快速、準(zhǔn)確”呢？

二、“方程”概念再學(xué)習(xí)

“一元一次方程”這個概念，命名的規(guī)則是什么？代表著什么意義？

“元”，就是“未知數(shù)”，“一元”就是“只有一個未知數(shù)”。

代表未知數(shù)的符號，可以是任意選擇的，為了統(tǒng)一，一般按“x、y、z”的順序選用，即在一元一次方程中，用“x”來代表“未知數(shù)”。

“次”，是“整式”才使用的概念，是含有未知數(shù)項的最高次數(shù)，“一次”就是“含有未知數(shù)項的最高次為一次”。

“一元一次”，表示“代數(shù)形式”是“整式”，且“未知數(shù)只有一個”、“未知數(shù)的次數(shù)為1”。

“方程”，是“含有未知數(shù)的等式”。“方程”一詞來源于中國古算術(shù)書《九章算術(shù)》。在這本著作中，已經(jīng)會列一元一次方程。法國數(shù)學(xué)家笛卡爾把未知數(shù)和常數(shù)通過代數(shù)運算所組成的方程稱為代數(shù)方程。在19世紀(jì)以前，方程一直是代數(shù)的核心內(nèi)容。

“等式”，是“含有等號的式子”。其形式是：把相等的兩個代數(shù)式用等號連接起來。

綜上，我們可得出“一元一次方程”的完整描述：

1、由等號連接兩個整式。

2、兩個整式中所有項，都只含有一個共同的未知數(shù)。

3、該未知數(shù)的最高次數(shù)為“1”。

即，“一元一次方程”概念的四要素是：等號、整式、一元、一次。

一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式（即所有一元一次方程經(jīng)“代數(shù)變形”都能變成的形式）是：

ax+b=0(a，b為常數(shù)，且a≠0），這里a是未知數(shù)的系數(shù)，b是常數(shù)。

等式具有以下的基本性質(zhì)

性質(zhì)1：

等式兩邊同時加上(或減去)同一個代數(shù)式，所得結(jié)果仍相等。  若a=b，那么a+c=b+c

性質(zhì)2：

等式兩邊同時乘或除以同一個不為0的代數(shù)式，所得結(jié)果仍相等。

若a=b，那么有a·c=b·c或a÷c=b÷c （c≠0）

性質(zhì)3：（該性質(zhì)在以后，會很經(jīng)常地使用）

等式兩邊同時乘方（或開方），兩邊依然相等。  若a=b，那么有a^c=b^c或(c次根號a)=(c次根號b)

性質(zhì)4：（上學(xué)期幾何證明時的“等量代換”，就是性質(zhì)4）

等式具有傳遞性。  若a1=a2,a2=a3,a3=a4,……an=an,那么a1=a2=a3=a4=……=an

由等式的基本性質(zhì)，可拓展一些常用“等式變形”

拓展1：

等式兩邊同時被一個代數(shù)式減，結(jié)果仍相等。  如果a=b，那么c-a=c-b（由性質(zhì)1拓展）

拓展2：

等式兩邊取相反數(shù)，結(jié)果仍相等。  如果a=b，那么-a=-b（同拓展1，由性質(zhì)1拓展）

拓展3：

等式兩邊不等于0時，被同一個數(shù)或式子除，結(jié)果仍相等。

如果a=b≠0，那么c/a=c/b（由性質(zhì)2拓展）

拓展4：

等式兩邊不等于0時，兩邊取倒數(shù)，結(jié)果仍相等。

如果a=b≠0，那么1/a=1/b（同拓展3，由性質(zhì)2拓展）

等式的性質(zhì)，是等式變形的基礎(chǔ)，在進(jìn)行等式變形時，要注意乘除變形時“0”的特殊性，當(dāng)字母變形到分母時，要首先確認(rèn)“該字母所代表的值是否可能為0”，如果“不能確定一定不為0”，則該字母不能變形到分母。

“解方程”，就是把任意形式的方程進(jìn)行“等式變形”，最終變形為“x=a”。

最終變形結(jié)果“x=a”，即為“方程的解”，a可稱為“方程的根”。

“x=a”，為“賦值語句”，即給“未知數(shù)x”賦值為“a”。

用“a”替換方程中的“未知數(shù)x”，方程等號兩邊的值，一定要相等。

如替換后，兩邊的值相等，則該賦值成立；

如替換后，兩邊的值不相等，則該賦值不成立。

這就是“方程的檢驗”或稱為“驗根”。

在這要提醒所有的同學(xué)們，“解方程”是數(shù)學(xué)中，唯一可由學(xué)生“自行批改”的題目。

所以，解方程“絕對不允許出錯”。

三、解決復(fù)雜形式的一元一次方程

解方程，就是“代數(shù)變形”?！胺匠痰拇鷶?shù)變形”分為兩類：

1、利用“計算法則”，可進(jìn)行“代數(shù)式變形”，此種變形可以“只變一邊”也可以“兩邊分別變”。

解一元一次方程，常用“代數(shù)式變形”有：整式運算、通分等。

2、利用“等式性質(zhì)”，可進(jìn)行“等式變形”，此種變形必須是“兩邊同時變”。

解一元一次方程，常用“等式變形”有：移項、去分母等。

解方程的通常步驟：去分母→去括號→移項→合并同類項→系數(shù)化為一。

⒈去分母：

由于分?jǐn)?shù)運算的特殊性，分?jǐn)?shù)乘除計算很方便，分?jǐn)?shù)加減計算中，同分母加減也很方便，就是異分母加減非常討厭。

而解方程時，存在合并同類項，所以，當(dāng)方程中出現(xiàn)“異分母”時，一般要“去分母”。

教材和各種輔導(dǎo)書，在講去分母的方法時，都是根據(jù)“等式的性質(zhì)2”，在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)（不含分母的項也要乘）。

這種方法在實際使用時，很多學(xué)生會漏乘“不含分母的項”。所以，多余老師對于“去分母”環(huán)節(jié)，提出如下建議：

A利用“通分”，進(jìn)行“代數(shù)式變形”，兩邊分別通分?！巴ǚ帧焙螅仁匠蔀椤癆/B=C/D”的比例形式。  

B此時，分母之間可直接進(jìn)行“約分”，即“A/B=C/D”可等式變形為“A/C=B/D”。

C利用“比例的內(nèi)項之積=外項之積”，將等式“去分母”成為“A?D=B?C”的乘積形式。

這種方法，由于充分利用了小學(xué)經(jīng)過“充足訓(xùn)練”的通分、約分和比例轉(zhuǎn)換，正確率非常高。

并且，“比例的內(nèi)項之積=外項之積”，其依據(jù)就是“等式的性質(zhì)2”。

特別提醒：

解方程時，不要一見分母就想去分母，要看實際情況，只有“同類項出現(xiàn)異分母”才是需要去分母的。

⒉去括號：

“去括號”，屬于“代數(shù)式變形”，其依據(jù)是“整式計算法則的乘法分配律”。

一般先去小括號，再去中括號，最后去大括號，記住：如括號外有減號或除號的話一定要變號。

⒊移項：

    A依據(jù)：等式的性質(zhì)1（也可以說是：根據(jù)加減互為逆運算進(jìn)行等式變形）。

B含有未知數(shù)的項變號后都移到方程一邊，把不含未知數(shù)的項移到邊。

    C把方程一邊某項移到另一邊時，一定要變號{例如：移項時將+改為-，×改為÷}。

⒋合并同類項：

A把方程化成ax=b(a≠0）的形式；

B依據(jù)：利用“整式計算法則的乘法分配律（逆用乘法分配律）”進(jìn)行“代數(shù)式變形”。

⒌系數(shù)化為1：

A在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x=b/a.

B依據(jù)：等式的性質(zhì)2（也可以說是：根據(jù)乘除互為逆運算進(jìn)行等式變形）。

例：（3x+1)/2-2=(3x-2)/10-(2x+3)/5

一般教材方法：

1、去分母，（方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù)10）得：5(3x+1)-10×2=(3x-2)-2(2x+3)

2、去括號得：15x+5-20=3x-2-4x-6

3、移項得：15x-3x+4x=-2-6-5+20

4、合并同類項得：16x=7

5、系數(shù)化為1得：x=7/16。

多余老師方法：

1、去分母：

A由于“同類項有異分母”，先“通分”得：（3x+1-4）/2=[3x-2-2（2x+3]/10

B分母間“約分”得：3X-3=（3X-2-4X-6）/5

C“比轉(zhuǎn)換為乘積”得：5（3X-3）=-X-8

2、去括號得：15X-15=-X-8

3、“加減逆運算”得：15X+X=15-8

4、合并得：16X=7

5、“乘除逆運算”得：X=7/16

哪種方法更適合你，自行選擇。

“快速、簡便、準(zhǔn)確”的方法，就是好方法。

數(shù)學(xué)中，除了“基本性質(zhì)”和“運算法則”外，都可根據(jù)實際情況“靈活選用”已學(xué)過的各種“變形方法”，以求達(dá)到“快速、簡便、準(zhǔn)確”。

小學(xué)計算中，有專門的“簡便計算”要求，到中學(xué)后，一般不會再專門提這項要求，但“簡便運算”這項要求，不是消失了，而是做為中學(xué)生，“簡便運算”應(yīng)該成為你遇到計算類問題的“條件反射”。

四、列方程解應(yīng)用題

在小學(xué)已學(xué)習(xí)較淺的一元一次方程應(yīng)用題，到了初中開始利用一元一次方程解較難的應(yīng)用題。

一元一次方程應(yīng)用題牽涉到許多的實際問題，例如工程問題、植樹問題、比賽比分問題、行程問題、行船問題、相向問題分段收費問題、盈虧、利潤問題。

分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，利用其中的相等關(guān)系列出方程，是用數(shù)學(xué)解決實際問題的一種方法.（即“代數(shù)方法”）

在小學(xué)算術(shù)中，我們學(xué)習(xí)了用“算術(shù)方法”解決實際問題的有關(guān)知識，那么，一個實際問題能否應(yīng)用一元一次方程來解決呢？若能解決，怎樣解？用一元一次方程解應(yīng)用題與用算術(shù)方法解應(yīng)用題相比較，它有什么優(yōu)越性呢？ 　

為了回答上述這幾個問題，我們來看下面這個例題． 　

例1 某數(shù)的3倍減2等于某數(shù)與4的和，求某數(shù)． 　

算術(shù)方法：（4+2）÷（3-1)=3． 　答：某數(shù)為3． 

代數(shù)方法：設(shè)某數(shù)為x，則有3x-2=x+4． 　解之，得x=3． 　答：某數(shù)為3． 　

縱觀例1的這兩種解法，很明顯，算術(shù)方法不易思考，而應(yīng)用設(shè)未知數(shù)，列出方程并通過解方程求得應(yīng)用題的解的方法，有一種化難為易之感，這就是我們學(xué)習(xí)運用一元一次方程解應(yīng)用題的目的之一．

即：“代數(shù)方法”降低“思維難度”。

所以，沒有“思維難度”時，不一定非用“代數(shù)方法”，“算術(shù)方法”就很好。

做一元一次方程應(yīng)用題的主要步驟：

⒈認(rèn)真審題（審題）　

⒉分析已知和未知量　

⒊找一個合適的等量關(guān)系　

⒋設(shè)一個恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù) 　

⒌列出合理的方程 （列式）　

⒍解出方程（解題） 　

⒎檢驗　

⒏寫出答案（作答）

第1至第3環(huán)節(jié)，是解決方程應(yīng)用題的核心內(nèi)容，但這些內(nèi)容除了并不在解答中體現(xiàn)。

把這3個環(huán)節(jié)做好，第4和第5兩個環(huán)節(jié)，就自然解決了。

余下的第6至第8環(huán)節(jié)就只是“解方程”和“最后總結(jié)陳詞環(huán)節(jié)”。

如何做好，第1至第3，這3個環(huán)節(jié)呢？

這就要用到，小學(xué)數(shù)學(xué)老師經(jīng)常要求的“畫線段圖”和“列數(shù)量關(guān)系”。

“列數(shù)量關(guān)系”可稱為“列表法”：

1、審題，根據(jù)應(yīng)用題的不同類型，“列出文字?jǐn)?shù)量關(guān)系”，這相當(dāng)于“表頭”

2、將已知和未知量，相應(yīng)“填在”對應(yīng)的“數(shù)量項”。（表并不需要實際畫出，但由于對應(yīng)分析，相當(dāng)于有一個“數(shù)量關(guān)系表”。

做為中學(xué)生，要養(yǎng)成把“文字”，快速轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)語言”的習(xí)慣。

審題、分析時，能畫圖的先畫圖，因為圖形最直觀；不適合畫圖的，再“列表”；復(fù)雜一些的題目，需要二者結(jié)合使用。

總之，要把題目變得盡可能“直觀、簡潔”，并開始鍛煉一項非常重要的“數(shù)學(xué)能力”——將要解決的每一道具體題目，都能總結(jié)成一種類型；從而做到——每解決一道新題目，就解決了一個新類型。

五、多余的話

做題要“守規(guī)矩”，但“規(guī)矩”只限于“性質(zhì)和法則”，所謂“方法或步驟”并不是“規(guī)矩”。

數(shù)學(xué)，越學(xué)越活，你就把數(shù)學(xué)學(xué)通了、學(xué)精了。