自然界中發(fā)生的所有現(xiàn)象，按發(fā)生的可能性，有三種:
一種是必然發(fā)生的現(xiàn)象，例如：在一標(biāo)準(zhǔn)氣壓下水在10OOC會(huì)沸騰、黃金丟在水中會(huì)下沉，這種現(xiàn)象稱為必然現(xiàn)象，一種是根本不可能會(huì)發(fā)生的現(xiàn)象，例如人在一般大氣下能舉1000公金的物體、鋼鐵在常溫下會(huì)熔化，這些現(xiàn)象稱為不可能發(fā)生現(xiàn)象。還有一種是在一定條件下可能會(huì)發(fā)生，也可能不會(huì)發(fā)生。例如，拋出一枚質(zhì)量均勻的硬幣，落地后正面可能朝上也可能朝下，向目標(biāo)射擊一槍，它可能擊中目標(biāo)也可能未擊中目標(biāo)，這種現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。而或然率主要研究隨機(jī)現(xiàn)象中，出現(xiàn)的可能性。如今或然率已是研究隨機(jī)事件，數(shù)量規(guī)律的一門(mén)數(shù)學(xué)，它與實(shí)際生活有著密切的聯(lián)系，并在自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、軍事和工、農(nóng)業(yè)有著廣泛的應(yīng)用。
一、或然率的起源
意大利數(shù)學(xué)家兼醫(yī)生卡丹喜歡賭博，在賭博時(shí)經(jīng)常研究輸贏的方法。卡丹曾這樣說(shuō):把兩顆骰子擲出，以每個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和作為賭注，則押7最好?，F(xiàn)在來(lái)看，這個(gè)想法很易理解，但在卡丹的時(shí)代，應(yīng)該說(shuō)是很杰出的思想。實(shí)際上這個(gè)思想是或然率的萌芽。
或然率起源于賭博是無(wú)庸致疑地，這有二個(gè)傳說(shuō)，但無(wú)論那一種，都與帕斯卡爾及德．梅雷有關(guān)，此二種傳說(shuō)如下：
1. 十七世紀(jì)的路易王朝時(shí)代，法國(guó)有一位貴族，名叫德．梅雷（Chevalier de Méré）。有一次他到宮廷的賭場(chǎng)去賭錢(qián)，賭桌上正在玩著擲骰子游戲。他們的賭法是:兩個(gè)骰子連續(xù)投擲24次，看看究竟是至少會(huì)出現(xiàn)一次「雙么」呢？還是根本不會(huì)出現(xiàn)。德．梅雷毫不遲疑地一再押至少會(huì)出現(xiàn)一次的這一方。因?yàn)樗?兩顆骰子投擲一次時(shí)，出現(xiàn)「單么」的或然率是三十六分之一;所以兩個(gè)骰子連擲二十四次出現(xiàn)雙么的或然率是三十六分之二十四，就是三分之二。如果押在會(huì)出現(xiàn)的一方，一定是穩(wěn)操勝算。
可是，長(zhǎng)時(shí)間賭博下來(lái)，梅雷的口袋愈來(lái)愈輕，最后輸光了。想不出原因的梅雷于是寫(xiě)信向數(shù)學(xué)家帕斯卡爾請(qǐng)教。
帕斯卡爾為了解決這個(gè)難題，又和數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬交換意見(jiàn);由于兩個(gè)人的討論研究，就這樣地建立了或然率的理論基礎(chǔ)。所以我們說(shuō)「賭博是或然率之母」，一點(diǎn)也不為過(guò)。其實(shí)：
兩個(gè)骰子連擲二十四次，至少出現(xiàn)一次「雙么」的或然率，也就是用一來(lái)減去投擲二十四次中連一次「雙么」也不出現(xiàn)的或然率:
1-(1-1/36)24=0．4913
比50%少一點(diǎn)，難怪德．梅雷贏不了這場(chǎng)賭博。
2.另一種傳說(shuō)如下：
1651年夏天，帕斯卡爾在前往浦挨托鎮(zhèn)的旅行途中，偶然遇到了好朋友--貴族的公子哥兒--梅雷。
梅雷經(jīng)常進(jìn)出于賭場(chǎng)，為了消磨旅途中寂寞的時(shí)間，他大談「賭博經(jīng)」，并提出了一個(gè)十分有趣的「分賭注」問(wèn)題，向帕斯卡爾求教。問(wèn)題是這樣的:
有一次，梅雷和賭友賭骰子，雙方各押賭注32枚金幣。誰(shuí)先擲出三次6點(diǎn)，就算贏了對(duì)方，可以得到全部賭注。
賭博進(jìn)行一段時(shí)間后，梅雷已經(jīng)擲出兩次6點(diǎn)，而賭友只擲出一次6點(diǎn)。二人因?yàn)楦饔幸?，中斷了賭博，由于賭金分配的問(wèn)題，兩人出現(xiàn)了分歧。
賭友說(shuō)，他要是再擲出兩次6點(diǎn)，或者梅雷再擲出一次 6點(diǎn)就算贏，所以他有權(quán)分得梅雷的一半:即梅雷分64個(gè)金幣的2/3，自己分64個(gè)金幣的1/3。
梅雷則認(rèn)為分配不合理，他應(yīng)該分得64個(gè)金幣的3/4， 賭友只能分得64個(gè)金幣的1/4。
究竟兩個(gè)人所說(shuō)的，誰(shuí)對(duì)呢?
梅雷提出的「分賭注」的問(wèn)題，把帕斯卡爾難住了。他一直想了2、3年，到了1654年他寫(xiě)信給好友費(fèi)馬，兩人展開(kāi)了熱烈的討論，結(jié)果兩人一致認(rèn)為: 梅雷的分法是對(duì)的，他應(yīng)得64個(gè)金幣的3/4，賭友應(yīng)得64個(gè)金幣的1/4。
荷蘭的數(shù)學(xué)家惠更斯得到此消息，也參加了他們的討論。并把討論結(jié)果寫(xiě)成一本書(shū)，叫做 《論賭博中的計(jì)算》 (1657)，這是或然率的最早一部著作。于是一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支--或然率登上了數(shù)學(xué)的舞臺(tái)。
臺(tái)灣將來(lái)可能會(huì)允許賭場(chǎng)的開(kāi)設(shè)，也許閣下將來(lái)也會(huì)到賭場(chǎng)一游，不管閣下對(duì)賭博的態(tài)度如何，了解一些賭博與或然率的常識(shí)，應(yīng)該有益的，現(xiàn)在我們將它介紹如下：
1.輪盤(pán)（Roulette）
圖：輪盤(pán)共有38個(gè)數(shù)字，黑、紅個(gè)18個(gè)數(shù)字，綠色有2個(gè)數(shù)字。
很多人可能從未完過(guò)輪盤(pán)，或只完過(guò)幾次，不過(guò)對(duì)輪盤(pán)大家應(yīng)該耳熟能詳。我們現(xiàn)在討論它與數(shù)字期望值的關(guān)系。在賭博中，期望值的定義是：每次下注，可能贏得的錢(qián)。假若你用1元押輪盤(pán)上某一個(gè)號(hào)碼，獲勝機(jī)率是1比38，若贏賭場(chǎng)賠你35元，輸?shù)臋C(jī)率是37比38，損失1元。則期望值是：
期望值= 1/38(35)+37/38(-1)=-1/19
每次以一元為賭資你的期望值是-1/19元，也就是說(shuō)每次損失-1/19元，當(dāng)然是有利莊家。
如果你使用賭場(chǎng)提供的另一種賭法，即選擇賭色彩（紅色或黑色），不賭號(hào)碼。在18格紅色，18格黑色，以一元對(duì)賭，贏得一元，失亦損失一元。但你要注意有二格（0和00）是綠色。期望值是：
期望值= 18/38(1)+20/38(-1)=-1/19，仍然是-1/19元。
2.撲克（Poker）
圖：傳統(tǒng)上將撲克俗稱為梭哈，梭哈是英文Show Hand的音譯。Show Hand是Five Card Stud的別名。。玩家在游戲過(guò)程中有增加注碼和退出的機(jī)會(huì)，換著簡(jiǎn)單說(shuō)，玩家要有機(jī)會(huì)能夠偷雞（Bluff），才能算是撲克。像是二十一點(diǎn)、百家樂(lè)、橋牌等常見(jiàn)的使用撲克牌的游戲不屬于撲克。
撲克牌的玩法有好幾種，在賭場(chǎng)上較?？吹接?1點(diǎn)、撲克（梭哈；Show Hand），梭哈的玩法是參加游戲者每人分5張撲克牌，然后從五張的數(shù)字及發(fā)色來(lái)決定究竟贏或輸。但在梭哈，為什么「同花順」最大，「四大金剛」次之，「同花」比「順仔」大，「順仔」比「三條大」呢？
原來(lái)一手牌（5張撲克牌）的好或壞是基于它發(fā)生的或然率，牌愈好，發(fā)生的或然率愈低。下表是它們發(fā)生的或然率。
3. 骰子
除了上述的二顆骰子擲36次的玩法外，我們?cè)俳榻B將N顆骰子擲一次同時(shí)出現(xiàn)相同數(shù)字的或然率，譬如將10顆骰子擲下，同時(shí)出現(xiàn)2的或然率？N顆骰子擲下，同時(shí)出現(xiàn)2的或然率等于擲骰子N次都出現(xiàn)2的或然率。為了證明的方便，我們采取后者。首先擲第1顆骰子，出現(xiàn)2的或然率是1/6。接著擲第2顆骰子，出現(xiàn)2的或然率也是1/6，擲第1顆及第2顆骰子同時(shí)出現(xiàn)2的或然率是：
1/6x1/6=1/36
連擲10次出現(xiàn)2的或然率是：
1/6x1/6x1/6x1/6x1/6x1/6x1/6x1/6x1/6x1/6=(//6)10
計(jì)算結(jié)果是1/60466176，即6千零46萬(wàn)6千1百76分之一。換句話說(shuō)，10秒一次擲10顆骰子，1分鐘6次，1小時(shí)擲360次，1年365天才擲15萬(wàn)3千6百次，也就是說(shuō)每天不吃、不喝、不睡覺(jué)，要393.6年才保證出現(xiàn)1次。因此，我們不要以為1顆骰子出現(xiàn)2并不稀奇，多擲幾次，10顆骰子要同時(shí)出現(xiàn)2并不困難，實(shí)際上，終其一生也很難碰到。
4.擲銅板
傳說(shuō)中，古時(shí)候有一位國(guó)王要出征，為了要鼓勵(lì)士氣，而在神明面前拋100個(gè)銅板，結(jié)果，士氣大振，所向披靡，戰(zhàn)果輝煌。
1個(gè)銅板出現(xiàn)正面的或然率是1/2，那么100個(gè)銅板要同時(shí)出現(xiàn)正面的或然率是：
（1/2）100
這是小數(shù)點(diǎn)以下10個(gè)零的數(shù)目，面對(duì)機(jī)率這么小的數(shù)目，即使地球上所有的人各持100個(gè)銅板，花上百年，也沒(méi)有人會(huì)擲出全部是正面的銅板。所以國(guó)王所拋的銅板，為了要鼓勵(lì)士氣，特別制成雙面都是正面的銅板。
表：2至30個(gè)銅板同時(shí)擲出正面的或然率
5.生日問(wèn)題：
上面所述都是和賭博有關(guān)的或然率，現(xiàn)在我們介紹與日常生活有關(guān)的或然率。
當(dāng)我們考上高中，歡歡喜喜入學(xué)時(shí)，發(fā)現(xiàn)在班上40位同學(xué)，居然有同月同日生的同學(xué)，打聽(tīng)別班同學(xué)，亦有相同情況，心里非常驚訝。其實(shí)這并沒(méi)有什么稀奇，一般人以為生日相同的巧合機(jī)會(huì)很小。但實(shí)際上并非如此。我們來(lái)計(jì)算就可證明。一年有365天，就是有365種可能。那么1班40人生日都不重復(fù)的或然率是：
……=0.11
也就是說(shuō)，40個(gè)人當(dāng)中，生日不重復(fù)的或然率只有0.11，生日重復(fù)的達(dá)0.89（1-0.11）。
附表是一班人數(shù)20?60人，生日相同的或然率，從附表中我們看到，一班40人生日相同的或然率是89%，50人是97%，至于60人則達(dá)到99%。這個(gè)數(shù)目另人驚訝。所以一班數(shù)十人中，如果碰上相同生日的同學(xué)，是必然的，不是巧合。
6. 兩顆骰子擲出，以每個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和作為賭注，則押7最好。
這是文章開(kāi)始就提到的問(wèn)題，它總共出現(xiàn)得的情況共有36種，如下：
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出現(xiàn)點(diǎn)數(shù) |
出現(xiàn)情況 |
出現(xiàn)點(diǎn)數(shù) |
出現(xiàn)情況 |
出現(xiàn)點(diǎn)數(shù) |
出現(xiàn)情況 |
出現(xiàn)點(diǎn)數(shù) |
出現(xiàn)情況 |
|
2 |
（1，1） |
6 |
（2，4） |
5 |
（4，1） |
9 |
（5，4） |
|
3 |
（1，2） |
7 |
（2，5） |
6 |
（4，2） |
10 |
（5，5） |
|
4 |
（1，3） |
8 |
（2，6） |
7 |
（4，3） |
11 |
（5，6） |
|
6 |
（1，4） |
4 |
（3，1） |
8 |
（4，4） |
7 |
（6，1） |
|
5 |
（1，5） |
5 |
（3，2） |
9 |
（4，5） |
8 |
（6，2） |
|
7 |
（1，6） |
6 |
（3，3） |
10 |
（4，6） |
9 |
（6，3） |
|
3 |
（2，1） |
7 |
（3，4） |
6 |
（5，1） |
10 |
（6，4） |
|
4 |
（2，2） |
8 |
（3，5） |
7 |
（5，2） |
11 |
（6，5） |
|
5 |
（2，3） |
9 |
（3，6） |
8 |
（5，3） |
12 |
（6，6） |
表：擲二顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)和
從表中我們得到以下的事實(shí)，進(jìn)一步推論，押7是最有利的。當(dāng)然賭場(chǎng)老板也知道這種狀況，因此賭法也會(huì)有變化。
數(shù)字和為2，共1組。
數(shù)字和為3，共2組。
數(shù)字和為4，共3組。
數(shù)字和為5，共4組。
數(shù)字和為6，共5組。
數(shù)字和為7，共6組。
數(shù)字和為8，共5組。
數(shù)字和為9，共4組。
數(shù)字和為10，共3組。
數(shù)字和為11，共2組。
數(shù)字和為12，共1組。
