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全概率公式和貝葉斯公式兩個(gè)是相逆關(guān)系，前者是計(jì)算后驗(yàn)概率，后者是通過后驗(yàn)概率計(jì)算先驗(yàn)概率。
先驗(yàn)概率( Prior probability)是指根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)和分析得到的概率，如全概率公式，它往往作為“由因求果”問題中的“因”出現(xiàn)。
后驗(yàn)概率( posterior probability)是指在得到“結(jié)果”的信息后重新修正的概率，如貝葉斯公式中的，是“執(zhí)果尋因”問題中的“因”。
先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率有不可分割的聯(lián)系，后驗(yàn)概率的計(jì)算要以先驗(yàn)概率為基礎(chǔ)。
【例】比如某個(gè)事件群為UAi，這個(gè)群可以劃分若干個(gè)事件Ai，如果存在某個(gè)發(fā)生事件B，假設(shè)已知每個(gè)Ai條件下發(fā)生的B的概率已知（這個(gè)概率是先告訴你的，我們理解為先驗(yàn)概率），現(xiàn)在求這個(gè)事件B在事件群UAi這個(gè)總體樣本下的概率（這個(gè)概率和先驗(yàn)概率是不同的，因?yàn)閮烧叩臉颖究臻g不同，先驗(yàn)概率的樣本空間是每個(gè)Ai），我們把這個(gè)求解公式稱為全概率公式，因?yàn)檫@個(gè)概率是全樣本空間發(fā)生B的概率，而且是在已知每個(gè)Ai下發(fā)生B的概率下求解，因此是先驗(yàn)計(jì)算后驗(yàn)。而貝葉斯公式就和全概率相反，他是已知在事件群UAi這個(gè)總空間下發(fā)生B的概率的前提下，去求已知發(fā)生B下，發(fā)生Ai的概率，顯然是用后驗(yàn)概率去求先驗(yàn)概率。
舉個(gè)實(shí)際的例子，假設(shè)存在甲，乙，丙三所軍校，每個(gè)軍校里有男學(xué)生和女學(xué)生，現(xiàn)在準(zhǔn)備打仗，要抽一個(gè)人去執(zhí)行斬首行動(dòng)。假設(shè)抽出了一名女學(xué)生去執(zhí)行行動(dòng)。那么求抽出女生的概率就用全概率公式。如果要求抽出的這個(gè)女的是甲軍校的學(xué)生的概率是多少，就是用貝葉斯公式。
全概率公式和貝葉斯公式
P(E) = P(EF) + P(EFc) ＝ P(E|F)P(F) + P(E|Fc)P(Fc)
這個(gè)公式說明了，事件E發(fā)生的概率，等于在F發(fā)生的條件下E的條件概率，與在F不發(fā)生條件下E發(fā)生的條件概率的加權(quán)平均，其中加在每個(gè)條件概率上的權(quán)重就是作為條件的事件的發(fā)生的概率。 這個(gè)公式就是全概公式。這個(gè)公式能使我們?cè)谥赖诙€(gè)事件發(fā)生與否的概率情況下，來計(jì)算第一個(gè)事件的概率。 【例】保險(xiǎn)公司認(rèn)為人分成兩類，一類為容易出事故的人，一類為安全者。他們的統(tǒng)計(jì)表明，一個(gè)容易出事故的人一年內(nèi)發(fā)生事故的概率是0.4，安全者出事故的概率為0.2。若第一類人占總?cè)藬?shù)的30%。那么如果現(xiàn)在有一個(gè)人來投保，那么該人在保單一年內(nèi)將出事故的可能性為多少？ 解：0.4×0.3 + 0.2 × (1－0.3)=0.26 【例】在某刑事案件調(diào)查中，調(diào)查員有60%的把握認(rèn)為嫌疑人犯罪，假設(shè)現(xiàn)在得到了一個(gè)新的證據(jù)，表明罪犯有某個(gè)身體特征，如果有20%的人有這個(gè)特征，那么在嫌疑犯具有這個(gè)特征的情況下，檢察官認(rèn)為他犯罪的可能性是多大？
解：設(shè)A表示嫌疑人確實(shí)犯罪，B表示他具有這個(gè)身體特征。那么該問題則轉(zhuǎn)換為求： P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)
P(B|A)的含義是某人犯罪并且具有該身體特征的概率，為1。那么：
P(A|B) = 1 * 0.6 / (P(B|A)P(A) + P(B|Ac)P(Ac)) = 0.6 / (1*0.6 + 0.2 * 0.4) = xxxxx。
那么當(dāng)發(fā)現(xiàn)新的證據(jù)時(shí)，假設(shè)成立的概率也會(huì)隨之發(fā)生變化，我們可以表示為假設(shè)的優(yōu)勢(shì)的變化，其中優(yōu)勢(shì)的定義如下：
P(A) / P(Ac) = P(A) / (1 - P(A)) 即事件A的優(yōu)勢(shì)的含義是說，該時(shí)間發(fā)生的可能性是該事件沒有發(fā)生的可能性的倍數(shù)。 那么如果說，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)了某個(gè)證據(jù)E，而這個(gè)E讓P(A)的優(yōu)勢(shì)變大，我們則可稱之為“證據(jù)E進(jìn)一步地證明了A的結(jié)論”。 假設(shè)原來的H以概率P(H)成立，然后發(fā)現(xiàn)了新的證據(jù)E，這個(gè)時(shí)候優(yōu)勢(shì)變?yōu)椋?/FONT>
P(H|E) = P(E|H)P(H) / P(E)
P(Hc|E) = P(E|Hc)P(Hc) / P(Hc)
P(H|E) / P(Hc|E) = (P(H) / P(Hc)) * (P(E|H)/P(E|Hc)) 現(xiàn)在假設(shè)E發(fā)生了（新的證據(jù)），我們想要計(jì)算Fj發(fā)生的概率， P(Fj|E) = P(E|Fj)P(Fj) / P(E) = P(E|Fj)P(Fj) / (P(E|F1)P(F1)+...+P(E|Fn)P(Fn)) F1,...,Fn為互不相容事件，并且他們的和是必然時(shí)間。 這個(gè)公式就稱為貝葉斯公式 假設(shè)有三張形狀完全相同但是所涂顏色不同的卡片。第一張兩面都是紅色，第二張兩面全是黑色，第三張一面是紅色，一面是黑色。隨機(jī)抽出一張，朝上的一面是紅色的，問另外一面是紅色的概率是多少？
解：讓R1,R2,R3分別代表三張卡片，E代表朝上一面是紅色。 那么該題則轉(zhuǎn)換為
P(R1|E) = P(E|R1)P(R1) / P(E) = (1 * 1/3) / (1/2) = 2/3 經(jīng)典題目：
經(jīng)典解法（結(jié)論倒是正確的）： 所以主持人提示之后，你不換的話正確概率是1/3*100%+2/3*0=1/3，你換的話正確概率是1/3*0+2/3*100%=2/3。 P（B有車|C打開）= P（A有車|C打開）= |
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