二. 內(nèi)容講解

由于導(dǎo)數(shù)為我們解決所學(xué)過的有關(guān)函數(shù)問題提供了一般性的方法，所以利用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)的性質(zhì)及解決實(shí)際問題成為高考的熱點(diǎn)之一，這部分的具體要求是：

1. 理解導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義；掌握（）的公式；會求多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

2. 會用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程；理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，并會用導(dǎo)數(shù)求多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值。

【典型例題】

[例1] 設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo)，為常數(shù)，則等于（    ）

A.      B.     C.      D. 0

解：

    =

    =

    ==   故應(yīng)選（B）

注：本題旨在鞏固對函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義的理解與掌握。

[例2] 已知點(diǎn)為曲線上的一點(diǎn)，曲線在A點(diǎn)處的切線方程為，曲線斜率為1的切線有幾條？它們之間的距離是多少？

解：由，則，由切線斜率為1，則，即此時(shí)，令，解得或，故已知曲線斜率為1的切線有兩條。

由A點(diǎn)在曲線上，則，過點(diǎn)A的切線方程為，即，故。當(dāng)時(shí)，，故相應(yīng)的點(diǎn)為，切線方程為：，即。

故兩直線間的距離為：=

[例3] 設(shè)拋物線C₁：與拋物線：在它們一個(gè)交點(diǎn)處的切線互相垂直。

    （1）求a ，b 之間的關(guān)系；

（2）若，，求的最大值。

解：（1）對C­₁：；對C₂：，設(shè)曲線C₁與C₂的一個(gè)交點(diǎn)為，由兩曲線在交點(diǎn)處的切線互相垂直，則，即① ，又（在兩曲線上，故有：

，

則

即②

由①、②可消去，可得

（2）由，且，則

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最大值為。

[例4] 已知拋物線C₁：和C₂：，如果直線同時(shí)是C₁和C₂的切線，稱是C_1­和C_2­的公切線，公切線上兩個(gè)切點(diǎn)之間的線段稱為公切線段。

（1）取什么值時(shí)，C₁和C₂有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；

（2）若C₁和C₂有兩條公切線，證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分。

（1）解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，曲線C₁在點(diǎn)P（）的切線方程為：

即①

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，曲線C₂在點(diǎn)Q（）的切線方程為

即②

如果直線是過P和Q的公切線，則①和②式都是的方程，所以

消去，得方程

令得，解得

此時(shí)點(diǎn)P與Q重合，即當(dāng)時(shí)，C₁與C₂有且僅有一條公切線，由①得公切線方程為。

（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，C₁和C₂有兩條公切線，設(shè)一條公切線上切點(diǎn)為P₁（），Q（），其中點(diǎn)P在曲線C_1­上，點(diǎn)Q在曲線C­₂上，則由

故線段PQ中點(diǎn)為（），同理，另一條公切線的中點(diǎn)坐標(biāo)也是（）得證。

[例5] 已知函數(shù)，其中，為參數(shù)，且

（1）當(dāng)時(shí)，判斷是否有極值；

（2）要使函數(shù)的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍；

（3）若對（2）中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)，函數(shù)在區(qū)間（）內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

解：

（1）當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在（）上是增函數(shù)，故無極值。

（2），令，得

由及（1），只考慮的情況

當(dāng)變化時(shí)，的符號及的變化情況如下表：

因此，函數(shù)在處取得極小值

，且

要使，必有

可得，所以

（3） 由（2）知，函數(shù)在區(qū)間（）與（）內(nèi)都是增函數(shù)，由題設(shè)，函數(shù)在（）內(nèi)是增函數(shù)，則須滿足不等式組或

由（2），參數(shù)，，要使不等式關(guān)于恒成立，必有

綜上，解得或，所以的取值范圍是

注：本題為2006高考文科試題，主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，解不等式等基本知識，考查綜合分析和解決問題的能力。

【模擬試題】

1. 拋物線在點(diǎn)P（）處的切線的傾斜角是（    ）

A. arctan2             B. arctan（－2）          C. arctan           D.

2. 與直線平行的切線的切線方程是（     ）

A.                           B.         

C.                             D. 或

3. 某物體運(yùn)動規(guī)律是，則在t=        時(shí)的瞬時(shí)速度為0。

4. 已知，若，則x=         。

5. 平行于直線且與曲線相切的直線方程是   

                。

  6. 垂直于直線且與曲線相切的直線方程是         

               。

7. 已知A、B是拋物線上橫作標(biāo)分別為的兩點(diǎn)，求拋物線的平行于割線AB的切線方程                   。

8. 若拋物線的切線與直線的夾角為，求切點(diǎn)坐標(biāo)。

【試題答案】

1. D           2. D        3. 2         4. 0或2        

5. 或

6.

7.

8. （）或（）