空間幾何體的表面積和體積

球、柱、錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式及其應(yīng)用

二. 課標(biāo)要求：

了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式。

三. 命題走向

近些年來(lái)在高考中不僅有直接求多面體、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問(wèn)題，也有已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關(guān)系問(wèn)題。即使考查空間線面的位置關(guān)系問(wèn)題，也常以幾何體為依托.因而要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)以及它們的求積公式.同時(shí)也要學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，會(huì)把組合體求積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本幾何體的求積問(wèn)題，會(huì)用體積轉(zhuǎn)化求解問(wèn)題，會(huì)把立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解，會(huì)運(yùn)用“割補(bǔ)法”等求解。

由于本講公式多反映在考題上，預(yù)測(cè)2008年高考有以下特色：

（1）用選擇、填空題考查本章的基本性質(zhì)和求積公式；

（2）考題可能為：與多面體和旋轉(zhuǎn)體的面積、體積有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題；與多面體和旋轉(zhuǎn)體中某些元素有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題；

［教學(xué)過(guò)程］

（一）基本知識(shí)要點(diǎn)回顧

1. 多面體的面積和體積公式

表中S表示面積，c′、c分別表示上、下底面周長(zhǎng)，h表示高，h′表示斜高，l表示側(cè)棱長(zhǎng)。

2. 旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式

表中l、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，r₁、r₂分別表示圓臺(tái)上、下底面半徑，R表示半徑。

【典型例題】

例1. 一個(gè)長(zhǎng)方體全面積是20cm²，所有棱長(zhǎng)的和是24cm，求長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng).

解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高、對(duì)角線長(zhǎng)分別為xcm、ycm、zcm、lcm

依題意得：      

由（2）²得：x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz=36（3）

由（3）－（1）得x²+y²+z²=16

即l²=16

所以l=4（cm）。

點(diǎn)評(píng)：涉及棱柱面積問(wèn)題的題目多以直棱柱為主，而直棱柱中又以正方體、長(zhǎng)方體的表面積多被考查。我們平常的學(xué)習(xí)中要多建立一些重要的幾何要素（對(duì)角線、內(nèi)切）與面積、體積之間的關(guān)系。

例2. 如圖所示，在平行六面體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，已知AB=5，AD=4，AA₁=3，AB⊥AD，∠A₁AB=∠A₁AD=。

（1）求證：頂點(diǎn)A₁在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分線上；

（2）求這個(gè)平行六面體的體積。

解：（1）如圖，連結(jié)A₁O，則A₁O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，連結(jié)A₁M，A₁N。由線面垂直得A₁M⊥AB，A₁N⊥AD?！摺?/SPAN>A₁AM=∠A₁AN，

∴Rt△A₁NA≌Rt△A₁MA，∴A₁M=A₁N，

從而OM=ON。

∴點(diǎn)O在∠BAD的平分線上。

（2）∵AM=AA₁cos=3×=

∴AO==。

又在Rt△AOA₁中，A₁O²=AA₁² – AO²=9－=，

∴A₁O=，平行六面體的體積為。

點(diǎn)評(píng)：垂直問(wèn)題的證明和柱體的體積公式的應(yīng)用。

例3. （2000全國(guó)，3）一個(gè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是，這個(gè)長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng)是（    ）

A. 2                B. 3              C. 6                       D.

解：設(shè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三邊長(zhǎng)分別為a=1，b＝，c＝，則對(duì)角線l的長(zhǎng)為l=；答案D。

點(diǎn)評(píng)：解題思路是將三個(gè)面的面積轉(zhuǎn)化為解棱柱面積、體積的幾何要素—棱長(zhǎng)。

例4. 如圖，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，若E、F分別為AB、AC 的中點(diǎn)，平面EB₁C₁將三棱柱分成體積為V₁、V₂的兩部分，那么V₁∶V₂= ____    _。

解：設(shè)三棱柱的高為h，上下底的面積為S，體積為V，則V=V₁+V₂＝Sh。

∵E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，

∴S_△AEF=S，

V₁=h（S+S+）=Sh

V₂=Sh-V₁=Sh，

∴V₁∶V₂=7∶5。

點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是棱柱、棱臺(tái)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立起求解體積的幾何元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。最后用統(tǒng)一的量建立比值得到結(jié)論即可。

例5. （2002京皖春文，19）在三棱錐S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5。（如圖所示）

（Ⅰ）證明：SC⊥BC；

（Ⅱ）求三棱錐的體積V_S－ABC。

解析：（Ⅰ）證明：∵∠SAB=∠SAC=90°，

∴SA⊥AB，SA⊥AC。

又AB∩AC=A，

∴SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC。

由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，∴BC⊥平面ASC，得BC⊥SC。

（Ⅱ）解：在Rt△SAC中，

∵SA=，

S_△ABC=·AC·BC=×5×5=，

∴V_S－ABC=·S_△ACB·SA=。

點(diǎn)評(píng)：本題比較全面地考查了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。要求對(duì)圖形必須具備一定的洞察力，并進(jìn)行一定的邏輯推理。

例6. ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求點(diǎn)B到平面EFC的距離？

解：如圖，取EF的中點(diǎn)O，連接GB、GO、CD、FB構(gòu)造三棱錐B－EFG。

設(shè)點(diǎn)B到平面EFG的距離為h，BD＝，EF，CO＝。

    。

而GC⊥平面ABCD，且GC＝2。

由，得·GC

點(diǎn)評(píng)：該問(wèn)題主要的求解思路是將點(diǎn)面的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為體積問(wèn)題來(lái)求解。構(gòu)造以點(diǎn)B為頂點(diǎn)，△EFG為底面的三棱錐是解此題的關(guān)鍵，利用同一個(gè)三棱錐的體積的唯一性列方程是解這類題的方法，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算。（等體積法）

例7. （2006江西理，12）如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過(guò)四面體的內(nèi)切球（與四個(gè)面都相切的球）球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐A－BEFD與三棱錐A－EFC的表面積分別是S₁，S₂，則必有（   ）

A. S₁<S₂        B. S₁>S₂     C. S₁=S₂         D. S₁，S₂的大小關(guān)系不能確定

解：連OA、OB、OC、OD，

則V_A－BEFD＝V_O－ABD＋V_O－ABE＋V_O－BEFD+V_O-ADF

V_A－EFC＝V_O－AFC＋V_O－AEC＋V_O－EFC又V_A－BEFD＝V_A－EFC，

而每個(gè)錐體的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故S_ABD＋S_ABE＋S_BEFD+S_ADF＝S_AFC＋S_AEC＋S_EFC又面AEF公共，故選C

點(diǎn)評(píng)：該題通過(guò)復(fù)合平面圖形的分割過(guò)程，增加了題目處理的難度，求解棱錐的體積、表面積首先要轉(zhuǎn)化好平面圖形與空間幾何體之間元素間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

例8. （1）（1998全國(guó)，9）如果棱臺(tái)的兩底面積分別是S、S′，中截面的面積是S₀，那么（    ）

A.   B.   C. 2S₀＝S＋S′  D. S₀²＝2S′·S

（2）（1994全國(guó)，7）已知正六棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2和4，高為2，則其體積為（    ）

A. 32              B. 28                 C. 24                    D. 20

解：（1）設(shè)該棱臺(tái)為正棱臺(tái)來(lái)解即可，答案為A；

（2）正六棱臺(tái)上下底面面積分別為：S_上＝6··2²＝6，S_下＝6··4²＝24，V_臺(tái)＝，答案B。

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱臺(tái)的中截面問(wèn)題。根據(jù)選擇題的特點(diǎn)本題選用“特例法”來(lái)解，此種解法在解選擇題時(shí)很普遍，如選用特殊值、特殊點(diǎn)、特殊曲線、特殊圖形等等。

例9. （2000全國(guó)理，9）一個(gè)圓柱的側(cè)面積展開圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（    ）

A.             B.           C.                D.

解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則由題設(shè)知h=2πr.

∴S_全=2πr²+（2πr）²=2πr²（1+2π）.S_側(cè)=h²=4π²r²，

∴。答案為A。

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓柱的側(cè)面展開圖、側(cè)面積和全面積等知識(shí)。

例10. （2003京春理13，文14）如圖，一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高r，則=         。

解：水面高度升高r，則圓柱體積增加πR²·r。恰好是半徑為r的實(shí)心鐵球的體積，因此有πr³=πR²r。故。答案為。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)知識(shí)以及計(jì)算能力和分析、解決問(wèn)題的能力。

例11. （1）（2002京皖春，7）在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如圖所示），若將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是（    ）

A. π                 B. π                C. π             D. π

（2）（2001全國(guó)文，3）若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個(gè)圓錐的全面積是（    ）

A. 3π                B. 3π                        C. 6π                       D. 9π

解：（1）如圖所示，該旋轉(zhuǎn)體的體積為圓錐C—ADE與圓錐B—ADE體積之差，又∵求得AB=1。

∴，答案D。

（2）∵S＝absinθ，∴a²sin60°＝，

∴a²＝4，a＝2，a=2r，

∴r＝1，S_全＝2πr＋πr²＝2π＋π＝3π，答案A。

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)識(shí)圖、想圖、畫圖的角度考查了空間想象能力。而對(duì)空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標(biāo)志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向。

例12. 已知過(guò)球面上三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且，求球的表面積。

解：設(shè)截面圓心為，連結(jié)，設(shè)球半徑為，

則，

在中，，

∴，

∴，

∴。

點(diǎn)評(píng)： 正確應(yīng)用球的表面積公式，建立平面圓與球的半徑之間的關(guān)系。

例13. 如圖所示，球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，如果PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，求這個(gè)球的表面積。

解：如圖，設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的球的截面圓半徑為r，圓心為O′，球心到該圓面的距離為d。

在三棱錐P—ABC中，∵PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，

∴AB=BC=CA=a，且P在△ABC內(nèi)的射影即△ABC的中心O′。

由正弦定理，得  =2r，∴r=a。

又根據(jù)球的截面的性質(zhì)，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，

∴P、O、O′共線，球的半徑R=。又PO′===a，

∴OO′=R － a=d=，（R－a）²=R² – （a）²，解得R=a，

∴S_球=4πR²=3πa²。

點(diǎn)評(píng)：本題也可用補(bǔ)形法求解。將P—ABC補(bǔ)成一個(gè)正方體，由對(duì)稱性可知，正方體內(nèi)接于球，則球的直徑就是正方體的對(duì)角線，易得球半徑R=a，下略。

例14. （1）（2006四川文，10）如圖，正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)在球面上，如果，則球的表面積是（    ）

A.       B.      C.        D.

（2）半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體棱長(zhǎng)為，求球的表面積和體積。

解：（1）如圖，正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，，，所以，R=2，球的表面積是，選D。

（2）作軸截面如圖所示，

，，

設(shè)球半徑為，

則

∴，

∴，。

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查球截面的性質(zhì)以及球面積公式，解題的關(guān)鍵是將多面體的幾何要素轉(zhuǎn)化成球的幾何要素。

例15. 表面積為的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是，求這個(gè)正四棱柱的表面積。

解：設(shè)球半徑為，正四棱柱底面邊長(zhǎng)為，

則作軸截面如圖，，，

又∵，∴，

∴，∴，

∴

點(diǎn)評(píng)：作軸截面把立體幾何中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何的問(wèn)題。

例16. （1）我國(guó)首都靠近北緯緯線，求北緯緯線的長(zhǎng)度等于多少？（地球半徑大約為）

（2）在半徑為的球面上有三點(diǎn)，，求球心到經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)的截面的距離。

解：（1）如圖，是北緯上一點(diǎn)，是它的半徑，

∴，

設(shè)是北緯的緯線長(zhǎng)，

∵，

∴

答：北緯緯線長(zhǎng)約等于.

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的截面為⊙，

設(shè)球心為，連結(jié)，則平面，

∵，

∴，

所以，球心到截面距離為.

點(diǎn)評(píng)：了解經(jīng)緯的數(shù)學(xué)意義，抓住球中的直角三角形求解。

例17. 在北緯圈上有兩點(diǎn)，設(shè)該緯度圈上兩點(diǎn)的劣弧長(zhǎng)為（為地球半徑），求兩點(diǎn)間的球面距離。

解：設(shè)北緯圈的半徑為，則，設(shè)為北緯圈的圓心，，

∴，∴，

∴，∴，

∴中，，

所以，兩點(diǎn)的球面距離等于.

點(diǎn)評(píng)：要求兩點(diǎn)的球面距離，必須先求出兩點(diǎn)的直線距離，再求出這兩點(diǎn)的球心角，進(jìn)而求出這兩點(diǎn)的球面距離。

［思維總結(jié)］

1. 正四面體的性質(zhì)  設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則這個(gè)正四面體的

（1）全面積：S_全=a²；

（2）體積：V=a³；

（3）對(duì)棱中點(diǎn)連線段的長(zhǎng)：d=a；

（4）內(nèi)切球半徑：r=a；   

（5）外接球半徑：R=a；

（6）正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值（等于正四面體的高）。

2. 直角四面體的性質(zhì)  有一個(gè)三面角的各個(gè)面角都是直角的四面體叫做直角四面體。直角四面體有下列性質(zhì)：

如圖，在直角四面體AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a，OB=b，OC=c。

則：①不含直角的底面ABC是銳角三角形；

②直角頂點(diǎn)O在底面上的射影H是△ABC的垂心；

③體積    V=abc；

④底面S_△ABC=；

⑤外切球半徑    R=；

⑥內(nèi)切球半徑  r=

3. 球的截面

用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是圓面.

（1）過(guò)球心的截面截得的圓叫做球的大圓；不經(jīng)過(guò)球心的截面截得的圓叫做球的小圓；

（2）球心與截面圓圓心的連線垂直于截面；

（3）球心和截面距離d，球半徑R，截面半徑r有如下關(guān)系：

r=.

4. 經(jīng)度、緯度：

經(jīng)線：球面上從北極到南極的半個(gè)大圓；

緯線：與赤道平面平行的平面截球面所得的小圓；

經(jīng)度：某地的經(jīng)度就是經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的經(jīng)線與地軸確定的半平面與經(jīng)線及軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)。

緯度：某地的緯度就是指過(guò)這點(diǎn)的球半徑與赤道平面所成角的度數(shù)。

5. 兩點(diǎn)的球面距離：

球面上兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度，我們把這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)的球面距離

兩點(diǎn)的球面距離公式：（其中R為球半徑，為A，B所對(duì)應(yīng)的球心角的弧度數(shù)）

【模擬試題】

一、選擇題

1、下圖是由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的（      ）

2、過(guò)圓錐的高的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面，它們把圓錐側(cè)面分成的三部分的面積之比為（     ）

A、         B、        C、         D、

3、在棱長(zhǎng)為的正方體上，分別用過(guò)共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方形，則截去個(gè)三棱錐后 ，剩下的幾何體的體積是（     ）

A、             B、                  C、                    D、

4、已知圓柱與圓錐的底面積相等，高也相等，它們的體積分別為和，則（     ）

A、                    B、              C、                    D、

5、如果兩個(gè)球的體積之比為，那么兩個(gè)球的表面積之比為（   ）

A、                 B、            C、                  D、

6、有一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸如下（單位），則該幾何體的表面積及體積為：（   ）

A、，                B、，12

C、，36                D、以上都不正確           

二、填空題

1、若圓錐的表面積是，側(cè)面展開圖的圓心角是60°，則圓錐的體積是_______。

2、一個(gè)半球的全面積為，一個(gè)圓柱與此半球等底等體積，則這個(gè)圓柱的全面積是       。 

3、球的半徑擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，它的體積擴(kuò)大為原來(lái)的 _________ 倍。

4、一個(gè)直徑為32厘米的圓柱形水桶中放入一個(gè)鐵球，球全部沒(méi)入水中后，水面升高9厘米，則此球的半徑為_________厘米。

5、已知棱臺(tái)的上下底面面積分別為4、16，高為，則該棱臺(tái)的體積為___________。

三、解答題

1、（如圖）在底半徑為，母線長(zhǎng)為的圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為的圓柱，求圓柱的表面積

2、如圖，在四邊形中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，，，，求四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積 

【試題答案】

一、選擇題  

1、A   幾何體是圓臺(tái)上加了個(gè)圓錐，分別由直角梯形和直角三角形旋轉(zhuǎn)而得

2、B   從此圓錐可以看出三個(gè)圓錐，

3、D  

4、D  

5、C  

6、A   此幾何體是個(gè)圓錐，

二、填空題

1、  設(shè)圓錐的底面半徑為，母線為，則，得，

，得，圓錐的高

2、 

3、 

4、 

5、   

三、解答題

1、解：圓錐的高，圓柱的底面半徑，

2、解：