圓錐曲線的綜合問題

二. 教學(xué)目標(biāo)：

（1）掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)，理解橢圓的參數(shù)方程．（2）掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)．（3）掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì)．（4）了解圓錐曲線的初步應(yīng)用．

三. 知識要點：

解析幾何是聯(lián)系初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的紐帶，它本身側(cè)重于形象思維、推理運算和數(shù)形結(jié)合，綜合了代數(shù)、三角、幾何、向量等知識．反映在解題上，就是根據(jù)曲線的幾何特征準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)換為代數(shù)形式，根據(jù)方程畫出圖形，研究幾何性質(zhì)．學(xué)習(xí)時應(yīng)熟練掌握函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、參數(shù)的思想、分類與轉(zhuǎn)化的思想等，以達到優(yōu)化解題的目的．

具體來說，有以下三方面：

（1）確定曲線方程，實質(zhì)是求某幾何量的值；含參數(shù)系數(shù)的曲線方程或變化運動中的圓錐曲線的主要問題是定值、最值、最值范圍問題，這些問題的求解都離不開函數(shù)、方程、不等式的解題思想方法．有時題設(shè)設(shè)計得非常隱蔽，這就要求認真審題，挖掘題目的隱含條件作為解題突破口．

（2）解析幾何也可以與數(shù)學(xué)其他知識相聯(lián)系，這種綜合一般比較直觀，在解題時保持思維的靈活性和多面性，能夠順利進行轉(zhuǎn)化，即從一知識轉(zhuǎn)化為另一知識．

（3）解析幾何與其他學(xué)科或?qū)嶋H問題的綜合，主要體現(xiàn)在用解析幾何知識去解有關(guān)知識，具體地說就是通過建立坐標(biāo)系，建立所研究曲線的方程，并通過方程求解來回答實際問題在這一類問題中“實際量”與“數(shù)學(xué)量”的轉(zhuǎn)化是易出錯的地方，這是因為在坐標(biāo)系中的量是“數(shù)量”，不僅有大小還有符號．

【典型例題】

例1. 設(shè)有一顆彗星沿一橢圓軌道繞地球運行，地球恰好位于橢圓軌道的焦點處，當(dāng)此彗星離地球相距m萬千米和m萬千米時，經(jīng)過地球和彗星的直線與橢圓的長軸夾角分別為和，求該彗星與地球的最近距離．

分析：本題的實際意義是求橢圓上一點到焦點的距離，一般的思路：由直線與橢圓的關(guān)系，列方程組解之；或利用定義法抓住橢圓的第二定義求解．同時，還要注意結(jié)合橢圓的幾何意義進行思考．仔細分析題意，由橢圓的幾何意義可知：只有當(dāng)該彗星運行到橢圓的較近頂點處時，彗星與地球的距離才達到最小值即為a－c，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為求a，c或a－c．

解：建立如上圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)地球位于焦點F（－c，0）處，橢圓的方程為+=1，

當(dāng)過地球和彗星的直線與橢圓的長軸夾角為時，由橢圓的幾何意義可知，彗星A只能滿足∠xFA=（或∠xFA′=）．

作AB⊥Ox于B，則｜FB｜=｜FA｜=m，

故由橢圓的第二定義可得

m=（－c）①       且m=（－c+m）②

兩式相減得m=·m，∴a=2c．

代入①，得m=（4c－c）=c，

∴c=m．∴a－c=c=m．

答：彗星與地球的最近距離為m萬千米

點評：（1）在天體運行中，彗星繞恒星運行的軌道一般都是橢圓，而恒星正是它的一個焦點，該橢圓的兩個端點，一個是近地點，另一個則是遠地點，這兩點到恒星的距離一個是a－c，另一個是a+c．

（2）以上給出的解答是建立在橢圓的概念和幾何意義之上的，以數(shù)學(xué)概念為根基充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．另外，數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的解決在數(shù)學(xué)化的過程中也要時刻不忘審題，善于挖掘隱含條件，有意識地訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)．

例2. 某工程要挖一個橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP運到P處（如圖所示）．已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°，試說明怎樣運土最省工．

分析：首先抽象為數(shù)學(xué)問題，半圓中的點可分為三類：（1）沿AP到P較近；（2）沿BP到P較近；（3）沿AP、BP到P同樣遠．

顯然，第三類點是第一、二類的分界點，設(shè)M是分界線上的任意一點則有｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜．

于是｜MA｜－｜MB｜=｜PB｜－｜PA｜=150－100=50．

從而發(fā)現(xiàn)第三類點M滿足性質(zhì)：點M到點A與點B的距離之差等于常數(shù)50，由雙曲線定義知，點M在以A、B為焦點的雙曲線的右支上，故問題轉(zhuǎn)化為求此雙曲線的方程．

解：以AB所在直線為x軸，線段AB的中點為原點建立直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)M（x，y）是沿AP、BP運土同樣遠的點，則

｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜，

∴｜MA｜－｜MB｜=｜PB｜－｜PA｜=50．

在△PAB中，由余弦定理得

｜AB｜²=｜PA｜²+｜PB｜²－2｜PA｜｜PB｜cos60°=17500，

且50＜｜AB｜．

由雙曲線定義知M點在以A、B為焦點的雙曲線右支上，

設(shè)此雙曲線方程為－=1（a＞0，b＞0）．

∵2a=50，4c²=17500，c²=a²+b²，

解之得a²=625，b²=3750

∴M點軌跡是－=1（x≥25）在半圓內(nèi)的一段雙曲線弧．

于是運土?xí)r將雙曲線左側(cè)的土沿AP運到P處，右側(cè)的土沿BP運到P處最省工．

點評：（1）本題是不等量與等量關(guān)系問題，涉及到分類思想，通過建立直角坐標(biāo)系，利用點的集合性質(zhì)，構(gòu)造圓錐曲線模型（即分界線）從而確定出最優(yōu)化區(qū)域．

（2）應(yīng)用分類思想解題的一般步驟：①確定分類的對象；②進行合理的分類；③逐類逐級討論；④歸納各類結(jié)果．

例3. 根據(jù)我國汽車制造的現(xiàn)實情況，一般卡車高3 m，寬1.6 m現(xiàn)要設(shè)計橫斷面為拋物線型的雙向二車道的公路隧道，為保障雙向行駛安全，交通管理規(guī)定汽車進入隧道后必須保持距中線0.4 m的距離行駛已知拱口AB寬恰好是拱高OC的4倍，若拱寬為a m，求能使卡車安全通過的a的最小整數(shù)值．

分析：根據(jù)問題的實際意義，卡車通過隧道時應(yīng)以卡車沿著距隧道中線0.4 m到2 m間的道路行駛為最佳路線，因此，卡車能否安全通過，取決于距隧道中線2 m（即在橫斷面上距拱口中點2 m）處隧道的高度是否夠3 m，據(jù)此可通過建立坐標(biāo)系，確定出拋物線的方程后求得．

解：如圖，以拱口AB所在直線為x軸，以拱高OC所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，

由題意可得拋物線的方程為x²=－2p（y－），

∵點A（－，0）在拋物線上，

∴（－）²=－2p（0－），得p=．

∴拋物線方程為x²=－a（y－）．

取x=1.6+0.4=2，代入拋物線方程，得

2²=－a（y－），y=．

由題意，令y＞3，得＞3，

∵a＞0，∴a²－12a－16＞0．

∴a＞6+2．

又∵a∈Z，∴a應(yīng)取14，15，16，……．

答：滿足本題條件使卡車安全通過的a的最小正整數(shù)為14 m．

點評：本題的解題過程可歸納為兩步：一是根據(jù)實際問題的意義，確定解題途徑，得到距拱口中點2 m處y的值；二是由y＞3通過解不等式，結(jié)合問題的實際意義和要求得到a的值，值得注意的是這種思路在與最佳方案有關(guān)的應(yīng)用題中是常用的．

例4. 如圖，O為坐標(biāo)原點，直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b（a>0，b≠0），且交拋物線y²=2px（p>0）于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點．

（1）寫出直線l的截距式方程；

（2）證明：+=；

（3）當(dāng)a=2p時，求∠MON的大小．

分析：易知直線l的方程為+=1，欲證+=，即求的值，為此只需求直線l與拋物線y²=2px交點的縱坐標(biāo)由根與系數(shù)的關(guān)系易得y₁+y₂、y₁y₂的值，進而證得+=．由·=0易得∠MON=90°亦可由k_OM·k_ON=－1求得∠MON=90°．

（1）解：直線l的截距式方程為+=1．

（2）證明：由+=1及y²=2px消去x可得by²+2pay－2pab=0．   

點M、N的縱坐標(biāo)為y₁、y₂，

故y₁+y₂=，y₁y₂=－2pa．

所以+===．

（3）解：設(shè)直線OM、ON的斜率分別為k₁、k₂，

則k₁=，k₂=．

當(dāng)a=2p時，由（2）知，y₁y₂=－2pa=－4p²，

由y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，相乘得（y₁y₂）²=4p²x₁x₂，

x₁x₂===4p²，

因此k₁k₂===－1．

所以OM⊥ON，即∠MON=90°．

點評：本題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力．

例5. 已知橢圓C的方程為+=1（a>b>0），雙曲線－=1的兩條漸近線為l₁、l₂，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l₁，又l與l₂交于P點，設(shè)l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B．（如圖）

（1）當(dāng)l₁與l₂夾角為60°，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程；

（2）當(dāng)=λ時，求λ的最大值．

分析：（1）求橢圓方程即求a、b的值，由l₁與l₂的夾角為60°易得=，由雙曲線的距離為4易得a²+b²=4，進而可求得a、b．

（2）由=λ，欲求λ的最大值，需求A、P的坐標(biāo)，而P是l與l₁的交點，故需求l的方程將l與l₂的方程聯(lián)立可求得P的坐標(biāo)，進而可求得點A的坐標(biāo)將A的坐標(biāo)代入橢圓方程可求得λ的最大值．

解：（1）∵雙曲線的漸近線為y=±x，兩漸近線夾角為60°，

又<1，∴∠POx=30°，即=tan30°=∴a=b．

又a²+b²=4，∴a²=3，b²=1．

故橢圓C的方程為+y²=1．

（2）由已知l：y=（x－c），與y=x解得P（，），

由=λ得A（，）．

將A點坐標(biāo)代入橢圓方程得

（c²+λa²）²+λ²a⁴=（1+λ）²a²c²．

∴（e²+λ）²+λ²=e²（1+λ）²

∴λ²==－［（2－e²）+］+3≤3－2．

∴λ的最大值為－1．

點評：本題考查了橢圓、雙曲線的基礎(chǔ)知識，及向量、定比分點公式、重要不等式的應(yīng)用解決本題的難點是通過恒等變形，利用重要不等式解決問題的思想本題是培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題能力的一道好題．

例6. 如圖，矩形ABCD中，，以AB邊所在的直線為x軸，AB的中點為原點建立直角坐標(biāo)系，P是x軸上方一點，使PC、PD與線段AB分別交于、兩點，且成等比數(shù)列，求動點P的軌跡方程，

解：顯然有，

設(shè)，

三點共線，，      

，又三點共線，

， ，

，

，

，

化簡得動點P的軌跡方程為．

小結(jié)：

在知識的交匯點處命題，是高考命題的趨勢，而解析幾何與函數(shù)、三角、數(shù)列、向量等知識的密切聯(lián)系，正是高考命題的熱點，為此在學(xué)習(xí)時應(yīng)抓住以下幾點：

1、客觀題求解時應(yīng)注意畫圖，抓住涉及到的一些元素的幾何意義，用數(shù)形結(jié)合法去分析解決．

2、四點重視：①重視定義在解題中的作用；②重視平面幾何知識在解題中的簡化功能；③重視根與系數(shù)關(guān)系在解題中的作用；④重視曲線的幾何特征與方程的代數(shù)特征的統(tǒng)一．

3、注意用好以下數(shù)學(xué)思想、方法：

①方程思想；②函數(shù)思想；③對稱思想；④參數(shù)思想；⑤轉(zhuǎn)化思想；⑥分類思想

【模擬試題】

1、一拋物線型拱橋，當(dāng)水面離橋頂2 m時，水面寬4 m，若水面下降1 m時，則水面寬為

A、m           B、2m           C、4.5 m            D、9 m

2、某拋物線形拱橋的跨度是20 m，拱高是4 m，在建橋時每隔4 m需用一支柱支撐，其中最長的支柱是

A、4 m             B、3.84 m           C、1.48 m            D、2.92 m

3、天安門廣場，旗桿比華表高，在地面上，觀察它們頂端的仰角都相等的各點所在的曲線是

A、橢圓                   B、圓                        C、雙曲線的一支     D、拋物線

4、1998年12月19日，太原衛(wèi)星發(fā)射中心為摩托羅拉公司（美國）發(fā)射了兩顆“銥星”系統(tǒng)通信衛(wèi)星．衛(wèi)星運行的軌道是以地球中心為一個焦點的橢圓，近地點為m km，遠地點為n km，地球的半徑為R km，則通信衛(wèi)星運行軌道的短軸長等于

A、2       B、         C、2mn       D、mn

5、如圖，花壇水池中央有一噴泉，水管OP=1 m，水從噴頭P噴出后呈拋物線狀先向上至最高點后落下，若最高點距水面2 m，P距拋物線對稱軸1 m，則在水池直徑的下列可選值中，最合算的是

A、2.5 m                    B、4 m               C、5 m                        D、6 m

6、探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源在拋物線的焦點，已知燈口直徑是60 cm，燈深40 cm，則光源到反射鏡頂點的距離是____ cm．

7、在相距1400 m的A、B兩哨所，聽到炮彈爆炸聲音的時間相差3 s，已知聲速340 m/s炮彈爆炸點所在曲線的方程為________________．

8、一個酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的方程是x²=2y（0≤y≤20）在杯內(nèi)放入一個玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑r的范圍為________．

9、河上有一拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱頂5 m時，水面寬為8 m，一小船寬4 m，高2 m，載貨后船露出水面的部分高m，問水面上漲到與拋物線拱頂相距____________m時，小船不能通航．

10、雙曲線9x²－16y²=1的焦距是____________．

11、若直線mx+ny－3=0與圓x²+y²=3沒有公共點，則m、n滿足的關(guān)系式為_____；以（m，n）為點P的坐標(biāo)，過點P的一條直線與橢圓+=1的公共點有_________個．

12、設(shè)P₁（，）、P₂（－，－），M是雙曲線y=上位于第一象限的點，對于命題①|MP₂|－|MP₁|=2；②以線段MP₁為直徑的圓與圓x²+y²=2相切；③存在常數(shù)b，使得M到直線y=－x+b的距離等于|MP₁|其中所有正確命題的序號是____________．

【試題答案】

1、解析：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)拋物線方程為x²=－2py（p>0），由題意知，拋物線過點（2，－2），

∴4=2p×2∴p=1．∴x²=－2y．

當(dāng)y₀=－3時，得x₀²=6．

∴水面寬為2|x₀|=2．

答案：B

2、解析：建立適當(dāng)坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x²=－2py（p>0），由題意知其過定點（10，－4），代入x²=－2py，得p=．

∴x²=－25y當(dāng)x₀=2時，y₀=，∴最長支柱長為4－|y₀|=4－=3.84（m）．

答案：B

3、解析：設(shè)旗桿高為m，華表高為n，m＞n旗桿與華表的距離為2a，以旗桿與地面的交點和華表與地面的交點的連線段所在直線為x軸、垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系設(shè)曲線上任一點M（x，y），由題意=，即（m²－n²）x²+（m²－n²）y²－2a（m²－n²）x+（m²－n²）a²=0．

答案：B

4、解析：由題意－c=m+R，①  +c=n+R， ②

∴c=，2b=2=2．

答案：A

5、解析：以O為原點，OP所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系（如下圖），則拋物線方程可設(shè)為

y=a（x－1）²+2，P點坐標(biāo)為（0，1），

∴1=a+2∴a=－1．

∴y=－（x－1）²+2．

令y=0，得（x－1）²=2，∴x=1±．

∴水池半徑OM=+1≈2.414（m）．

因此水池直徑約為2×|OM|=4.828（m）．

答案：C

6、解析：設(shè)拋物線方程為y²=2px（p>0），點（40，30）在拋物線y²=2px上，

∴900=2p×40． ∴p=．∴=．

因此，光源到反射鏡頂點的距離為cm．答案：

7、解析：設(shè)M（x，y）為曲線上任一點，

則|MA|－|MB|=340×3=1020<1400．

∴M點軌跡為雙曲線，且a==510，

c==700．

∴b²=c²－a²=（c+a）（c－a）=1210×190．

∴M點軌跡方程為－=1．

答案：－=1

8、解析：玻璃球的軸截面的方程為x²+（y－r）²=r²

由x²=2y，x²+（y－r）²=r²，得y²+2（1－r）y=0，由Δ=4（1－r）²=0，得r=1

答案：0＜r≤1

9、解析：建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x²=－2py（p>0）．

將點（4，－5）代入求得p=．

∴x²=－y．

將點（2，y₁）代入方程求得y₁=－．

∴+|y₁|=+=2（m）．

答案：2

10、答案：．

解析：將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得－=1．

∴a²=，b²=，c²=a²+b²=+=． ∴c=，2c=．

11、答案：0<m²+n²<3 ，2．

解析：將直線mx+ny－3=0變形代入圓方程x²+y²=3，消去x，得（m²+n²）y²－6ny+9－3m²=0．

令Δ<0得m²+n²<3．又m、n不同時為零，∴0<m²+n²<3．

由0<m²+n²<3，可知|n|<，|m|<，再由橢圓方程a=，b=可知公共點有2個．

12、答案：①②③．

解析：由雙曲線定義可知①正確，②畫圖由題意可知正確，③由距離公式及|MP₁|可知正確．