雙曲線

二. 本周教學重、難點：

掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，能夠根據(jù)雙曲線性質(zhì)畫雙曲線簡圖，了解雙曲線在實際問題中的初步應用。

【典型例題】

[例1] 根據(jù)下列條件，求雙曲線方程：

（1）與雙曲線有公共焦點，且過點；

（2）與雙曲線有共同漸近線，且過點

解：（1）方法一：設雙曲線方程為

由題意易求

又雙曲線過點     ∴

又∵      ∴

故所求雙曲線方程為

方法二：設雙曲線方程為

將點代入得

∴ 雙曲線方程為

（2）方法一：設雙曲線方程為

由題意得

解之，得

故雙曲線方程為

方法二：設所求雙曲線方程為，將點代入得

所以雙曲線方程為

即

[例2] 已知雙曲線的中心在原點，焦點在坐標軸上，離心率為，且過點。

（1）求雙曲線方程；

（2）若點M（3，m）在雙曲線上，求證：；

（3）求的面積。

解析：（1）∵     ∴ 可設雙曲線方程為

∵ 雙曲線過點    ∴ ，即

∴ 雙曲線方程為

（2）證法一：由（1）可知，雙曲線中   ∴

∴ ，

∴ ，

∵ 點M（3，m）在雙曲線上    ∴ ，

故    ∴

∴

證法二：∵ ，

∴

∵ M點在雙曲線上    ∴ ，即

∴ ，即

（3）的底，的高

∴

[例3] 雙曲線C：的兩條準線間距離為3，右焦點到直線的距離為，

（1）求雙曲線C的方程；

（2）雙曲線C中是否存在以為中點的弦？

解：（1）根據(jù)題意有

解之，得，，

所以雙曲線C的方程為

（2）假設存在以為中點的弦AB，且設

則（*）

方法一：設AB所在直線方程為，即①

將①代入雙曲線C：，整理得

 ②

∴  ③

 ④

由（*）及④得，整理得

將代入③有

即當時，方程②無解，從而不存在以為中點的弦

方法二：將代入雙曲線C：

有

⑤－⑥，得

即

又由（*）知

即過AB的弦所在直線的斜率

從而AB所在的直線方程為，即

代入雙曲線C的方程，化簡得，此時

即時，所求直線與雙曲線實際上沒有交點

故不存在以為中點的弦

[例4] 在雙曲線的同一支上的不同三點，，與焦點F（0，5）的距離成等差數(shù)列。

（1）求；

（2）證明線段AC的垂直平分線經(jīng)過定點，并求出定點的坐標。

解析：（1）∵ 點A在雙曲線上支上，

由雙曲線第二定義，

∴

同理，，

由題意，

得

∴

（2）證明：設AC的中點為，AC的中垂線為，其斜率為，則的方程為

由題意可得

<2>－<1>整理，得

把<3><4><5>代入上式，得

∴

代入直線方程，得

即

故直線過定點

[例5] 設雙曲線C：與直線相交于兩個不同的點A、B。

（1）求雙曲線C的離心率的取值范圍；

（2）設直線與軸的交點為P，且，求的值。

解：（1）由C與相交于兩個不同的點

故知方程組

有兩個不同的實數(shù)解，消去并整理得

   ①

所以

解之，得且

雙曲線的離心率

因為且，所以且

即離心率的取值范圍為

（2）設

因為，所以

由此得

由于都是方程①的根，且

所以   

消去，得

由，所以

[例6] 已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），右頂點為。

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若直線與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且（其中O為原點），求的取值范圍。

解析：（1）設雙曲線方程為

由已知得，，再由

得，故雙曲線C的方程為

（2）將代入

得

由直線與雙曲線交于不同的兩點得

即且①

設，則，

由得，而

于是，即

解此不等式得②

由①②得

故的取值范圍為

[例7] 已知常數(shù)，向量，，經(jīng)過定點，以為方向向量的直線與經(jīng)過定點，以為方向向量的直線相交于點P，其中。

（1）求點P的軌跡C的方程；

（2）若，過E（0，1）的直線交曲線C于M、N兩點，求的取值范圍。

解析：（1）設P點的坐標為，則，

又，

故，

由題知向量與向量平行，故

又向量與向量平行，故

兩方程聯(lián)立消去參數(shù)

得點的軌跡方程是

即

（2）∵ ，故點P的軌跡方程為

此時點E（0，1）為雙曲線的焦點。

① 若直線的斜率不存在，其方程為，與雙曲線交于

此時

② 若直線的斜率存在，設其方程為

代入化簡得

∵ 直線與雙曲線交于兩點

∴ 且，解得

設兩交點為

則，

此時

當時，

故；

當或時，

故

綜上所述，的取值范圍是

【模擬試題】

一. 選擇題

1. 過點且與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程是（    ）

A.                  B.

C.                  D.

2. 已知定點A、B，且|AB|=4，動點P滿足|PA|－|PB|=3，則|PA|的最小值是（    ）

A.             B.             C.             D. 5

3. 設雙曲線以橢圓長軸的兩個端點為焦點，其準線過橢圓的焦點，則雙曲線的漸近線的斜率為（    ）

A.           B.          C.          D.

4. 設A為雙曲線右支上一動點，F為該雙曲線的右焦點，連結(jié)AF交雙曲線于B，過B作直線BC垂直于雙曲線的右準線，垂足為C，則直線AC必過定點（    ）

A.            B.             C. （4，0）         D.

5. 把曲線C₁：按向量平移后得曲線，曲線有一條準線方程為，則的值為（    ）

A.           B.           C. 3        D.

6. 在中，若，則方程表示（    ）

A. 焦點在x軸上的橢圓                    B. 焦點在y軸上的橢圓

C. 焦點在x軸上的雙曲線                D. 焦點在y軸上的雙曲線

7. 已知橢圓與雙曲線有相同的焦點和，若是的等比中項，是與的等差中項，則橢圓的離心率是（    ）

A.          B.          C.             D.

8. 設分別為具有公共焦點與的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個公共點，且滿足，則的值為（    ）

A. 1               B.             C. 2               D. 不確定

二. 解答題

9. 已知雙曲線M過點，且它的漸近線方程是。

（1）求雙曲線M的方程；

（2）設橢圓N的中心在原點，它的短軸是雙曲線M的實軸，且N中斜率為的弦的中點軌跡恰好是M的一條漸近線在N內(nèi)的部分，試求橢圓N的方程。

10. 已知雙曲線C的中心在原點，拋物線的焦點是雙曲線C的一個焦點，且雙曲線C過點。

（1）求雙曲線C的方程；

（2）設雙曲線C的實軸左頂點為A，右焦點為F，在第一象限內(nèi)任取雙曲線C上一點P，試問是否存在常數(shù)，使得恒成立？并證明你的結(jié)論。

11. 雙曲線的中心是原點O，它的虛軸長為，相應于焦點的準線與軸相交于點A，且，過點F的直線與雙曲線交于P、Q兩點。

（1）求雙曲線的方程及離心率；

（2）若，求直線PQ的方程。

【試題答案】

一.

1. A

解析：設與有公共漸近線的雙曲線方程為，把點代入可求得。

2. C

解析：P點軌跡是以A（左）、B（右）為焦點的雙曲線的右支（如圖）P與雙曲線右支頂點M重合時最小，最小值為。

3. C

解析：橢圓的長軸兩端點和焦點分別為（5，0），，（4，0），

設雙曲線的方程為，則有，，

∴ ，

故其漸近線為

4. A

解析：（特殊值法）取，則

∴ 直線AC與x軸相交于點，故選A

5. C

解析：無論曲線為橢圓還是雙曲線都可得到，且由題意可知曲線中心由（0，0）（1，2）后，曲線的一條準線為，可判定為的右準線

故，即，故

6. C

解析：

即

，，

表示焦點在x軸上的雙曲線，故選C。

7. D

解析：由題意得

由（2）（3）可得，代入（1）得橢圓的離心率，故選D。

8. C

解析：設

設橢圓的長軸為，雙曲線的實軸長為，

則

由此可得

即

將，代入，選C

二.

9. 解析：（1）所求雙曲線的方程為

（2）由（1）知雙曲線的焦點在x軸上

∴ 橢圓的焦點在y軸上

由于雙曲線M的實軸長為

∴ 設橢圓方程為（其中

又設N中斜率為的弦的兩端點為，其中點為

則

由（1）（2）得     ∴ N中斜率為的弦的中點的軌跡是直線在N內(nèi)的部分。根據(jù)題意得    ∴

∴ 橢圓N的方程為

10. 解析：（1）由題意設雙曲線方程為，把代入得①

又拋物線的焦點是（2，0）

故②

由①②得

所以所求雙曲線方程為

（2）假設存在適合題意的常數(shù)，此時

先來考慮特殊情形下的值；

當軸時，將代入雙曲線方程

解得

因為，所以是等腰直角三角形，，

此時

以下證明當PF與x軸不垂直時，恒成立

設，由于點P在第一象限內(nèi)，所以直線PA的斜率存在，為

因為PF與x軸不垂直，所以直線PF的斜率也存在，為

所以

因為

所以

將其代入上式并化簡得

因為，所以

即

因為，

所以

所以恒成立

綜合以上兩種思路，得存在常數(shù)，使得雙曲線C在第一象限內(nèi)的任意一點P，使恒成立。

11. 解：（1）由題意，設雙曲線的方程為

由已知  解得

所以雙曲線的方程為

離心率

（2）由（1）知A（1，0），F（3，0）

當直線PQ與x軸垂直時，PQ方程為

此時，，應舍去

當直線PQ與x軸不垂直時，設直線PQ的方程為

由方程組

得

由于過點F的直線與雙曲線交于P、Q兩點，則，即

由于，即

∴ 且（*）

設，則

由直線PQ的方程得，

于是<3>

∵      ∴

即<4>

由<1><2><3><4>得

整理得    ∴ [滿足（*）]

∴ 直線PQ的方程為或