二項(xiàng)式定理

二. 本周教學(xué)重、難點(diǎn)：

掌握二項(xiàng)式定理和展開式的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算，證明一些問題

【典型例題】

[例1] （1）求的展開式中的常數(shù)項(xiàng)。

（2）求展開式中的有理項(xiàng)。

解：（1），

令    ∴

（2）

令即，

∴ 或9

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

[例2] 求展開式中的系數(shù)

解：因?yàn)?/SPAN>的通項(xiàng)為，

的通項(xiàng)為，，令，則

，，，

所以的系數(shù)為

[例3] 求展開式中含項(xiàng)的系數(shù)

解：

而其中的通項(xiàng)為，的通項(xiàng)為

所以的通項(xiàng)為，其中，且

由已知，，所以，從而

當(dāng)時(shí)，，這時(shí)；

當(dāng)時(shí)，，這時(shí)；

當(dāng)時(shí)，，這時(shí)；

所以展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為

[例4] 求的展開式中項(xiàng)。

解：方法一：原式

的通項(xiàng)，

∴

當(dāng)時(shí)  ∴     ∴ 或

∴ 含項(xiàng)：

方法二：2個(gè)，1個(gè)  

4個(gè)   

∴

[例5] （1）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)。

解：（1）設(shè)項(xiàng)系數(shù)最大，則有

即

解得    又∵     ∴

∴ 系數(shù)最大項(xiàng)為

（2）展開式中共有8項(xiàng)，系數(shù)最大項(xiàng)必為正項(xiàng)，即在第一、三、五、七這四項(xiàng)中取得，又因括號(hào)內(nèi)兩項(xiàng)中后項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值大于前項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值，故系數(shù)最大項(xiàng)必在中間或偏右，故只需要比較和兩項(xiàng)系數(shù)大小即可。

∴ 系數(shù)最大的項(xiàng)是第五項(xiàng)，

[例6] 的展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)。

解：

∴ ，即

∴    解得

∴ 展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是中間一項(xiàng)

[例7] 若，求

（1）；

（2）；

（3）。

解：（1）令，則

令，則①

∴

（2）令，則②

由，得

（2）由，得

[例8] 求證：能被64整除

證明：∵

又是整數(shù)

∴ 能被64整除

[例9] 求證：有。

證：∵

∴ 左

右

[例10] 求

解：原式

[例11] 若，，展開按m的降冪排列第二項(xiàng)不大于第三項(xiàng)，求m的取值范圍。

解：   ∴      

又∵       ∴    

【模擬試題】

一. 選擇題

1. 在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是（    ）

A.           B. 5        C.         D. 10

2. 在的展開式中的系數(shù)是（    ）

A.         B. 14              C.         D. 28

3. 若展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)等于含x的項(xiàng)的系數(shù)的8倍，則n等于（    ）

A. 5               B. 7               C. 9               D. 11

4. 若展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則n等于（    ）

A. 8               B. 9               C. 10             D. 12

  5. 的展開式中有且僅有5個(gè)有理項(xiàng)，則最小自然數(shù)n等于（    ）

A. 11             B. 12              C. 13             D. 14

6. 若，則等于（    ）

A. 1               B.            C. 2               D.

  7. 設(shè)二項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為P，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為S。若有P+S=272，則n等于（    ）

A. 4               B. 5               C. 6               D. 8

  8. 展開式中整理后的常數(shù)項(xiàng)是（    ）

A. 32             B.         C. 70             D. 38

二. 解答題

1. 設(shè)函數(shù)（為實(shí)常數(shù)），若的展開式中的系數(shù)為，求的值。

2. 已知展開式中常數(shù)項(xiàng)為1120，為常數(shù)，求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和。

【試題答案】

1. C

解析：項(xiàng)的系數(shù)為，選C。

2. B

解析：由    ∴ 的系數(shù)為14

3. A

    解析：含項(xiàng)的系數(shù)為，含x項(xiàng)的系數(shù)為，由題意得

或（舍）

4. C

解析：本題考查二項(xiàng)式定理，展開式中的第項(xiàng)為

由題意可知

∵    ∴ 為3的倍數(shù)   ∴ n為5的倍數(shù)

5. B

解析：∵ ，設(shè)為有理項(xiàng)，則，且，

∴ 要求n的最小值，只要求出r的最大值即可

又∵ 只有5個(gè)有理項(xiàng)   ∴

∴ ，從而

故選B

6. D

解析：令，得，令，得

∴

7. A

解析：若，有，，令，得，又

或（舍去）

∴ ，故選A

8. D

解析：展開式的通項(xiàng)

由，得，故展開式中常數(shù)項(xiàng)為

同理，可求的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為70

∴ 所求常數(shù)項(xiàng)為

二.

1. 解析：

由    ∴

∵    ∴

2. 解析：

∴ 當(dāng)時(shí)，為常數(shù)項(xiàng)

∴     ∴    ∴

∴ 展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為：

① 時(shí)，令   ∴

② 時(shí)，令  ∴