［學(xué)習(xí)目標(biāo)］

  1. 掌握基本概念：正多邊形，正多邊形的中心角、半徑、邊心距以及平面鑲嵌等。

  2. 扇形面積公式：

    n是圓心角度數(shù)，R是扇形半徑，l是扇形中弧長。

  3. 圓柱是由矩形繞一邊旋轉(zhuǎn)360°形成的幾何體，側(cè)面展開是矩形，長為底面圓周長，寬為圓柱的高

      r底面半徑  h圓柱高

  4. 圓錐側(cè)面積

    圓錐是由直角三角形繞一直角邊旋轉(zhuǎn)360°形成的幾何體。

    側(cè)面展開是扇形，扇形半徑是圓錐的母線，弧長是底面圓周長。

  5. 了解圓柱由兩平行圓面和一曲面圍成，明確圓柱的高和母線，它們相等。

  6. 了解圓錐由一個(gè)曲面和一個(gè)底面圓圍成，明確圓錐的高和母線，知道可以通過解高、母線、底面半徑所圍直角三角形，解決圓錐的有關(guān)問題。

  7. 圓柱

    圓柱的側(cè)面展開圖是兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面周長的矩形。圓柱的側(cè)面積等于底面周長乘以圓柱的高。如圖所示，若圓柱的底面半徑為r，高為h，則：，。

  8. 圓錐

    圓錐是由一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面組成的。圓錐的底面是一個(gè)圓，側(cè)面是一個(gè)曲面，這個(gè)曲面在一個(gè)平面上展開后是一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的半徑是圓錐的母線，扇形的弧長是圓錐底面的周長。因此，圓錐的側(cè)面積是圓錐的母線與底面周長積的一半。如圖所示，若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則

    。

［重點(diǎn)、難點(diǎn)］

    扇形面積公式及圓柱、圓錐側(cè)面積公式的理解和靈活應(yīng)用。

【典型例題】

  例1. 已知如圖1，矩形ABCD中，AB＝1cm，BC＝2cm，以B為圓心，BC為半徑作圓弧交AD于F，交BA延長線于E，求扇形BCE被矩形所截剩余部分的面積。

圖1

    解：∵AB＝1，BC＝2，F點(diǎn)在以B為圓心，

    BC為半徑的圓上，

    ∴BF＝2，∴在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，∠ABF＝60°

    ∴

  例2. 已知扇形的圓心角150°，弧長為，則扇形的面積為____________。

    解：設(shè)扇形的面積為S，弧長為l，所在圓的半徑為R，

    由弧長公式，得：

    ∴

    由扇形面積公式，，故填。

    點(diǎn)撥：本題主要考查弧長公式和扇形面積公式。

  例3. 已知弓形的弦長等于半徑R，則此弓形的面積為__________。（弓形的弧為劣?。?。

    解：∵弓形弦長等于半徑R

    ∴弓形的弧所對(duì)的圓心角為60°

    ∴扇形的面積為。

    三角形的面積為。

    ∴弓形的面積為。

    即。故應(yīng)填。

    點(diǎn)撥：注意弓形面積的計(jì)算方法，即弓形的面積等于扇形面積與三角形面積的和或差。本題若沒有括號(hào)里的條件，則有兩種情況。

  例4. 若圓錐的母線與底面直徑都等于a，這個(gè)圓錐的側(cè)面積為_____________。

    解：∵圓錐的底面直徑等于a。

    ∴底面半徑為，

    ∴底面圓的周長為。

    又∵圓錐的母線長為a，

    ∴圓錐的側(cè)面積為。

    故應(yīng)填

    點(diǎn)撥：圓錐的側(cè)面積即展開圖的扇形面積，可利用扇形的面積公式求得。

  例5. 如圖2所示，OA和OO₁是⊙O中互相垂直的半徑，B在上，弧的圓心是O₁，半徑是OO₁，⊙O₂與⊙O、⊙O₁、OA都相切，OO₁＝6，求圖中陰影部分的面積。

圖2

    解：設(shè)⊙O₂與⊙O、⊙O₁、OA分別切于點(diǎn)D、C、E，設(shè)⊙O₂的半徑為r，連結(jié)O₁O₂，O₂E，過點(diǎn)O₂作O₂F⊥O₁O于F，連結(jié)O₁B、OB、OO₂。

    ∵O₁O＝6，

l             ∴

    ∴

    又∵

                ，

    ∴，

    ，

    ，

    ∴（舍去）

    又∵是等邊三角形

    ，

    ∴扇形和扇形的面積相等且都等于。

    ∴所組成的圖形面積為扇形O₁BO和扇形OO₁B的面積之和減去三角形O₁OB的面積，即：

    又∵扇形OAO₁的面積為：

    ∴陰影部分的面積為：

    點(diǎn)撥：本題比較復(fù)雜，考查的知識(shí)面比較多，要正確作輔助線，找出解題的思路。

  例6. 在半徑為2的圓內(nèi)，引兩條平行弦，它們所對(duì)的弧分別為120°和60°，求兩弦間所夾圖形的面積及周長。

    解：分兩條弦在圓心的同側(cè)或兩側(cè)這兩種情況：

    ①如圖3所示，由題意，

圖3

    則∠AOB＝120°，∠COD＝60°

    又∵AB∥CD，

    ∴，

    ∴∠AOC＝∠BOD

    又∵∠AOC＋∠BOD＝180°

    ∴∠AOC＝∠BOD＝90°

    ∴

    又∵

    故所求面積為

    又∵∠AOC＝90°，

    ∴，

    同理

    又∵△OCD是等邊三角形，

    ∴CD＝OC＝OD＝2

    又∵

    ∴所求的周長

    ②如圖4所示，由第一種情況，得所求面積：

圖4

    所求周長

    點(diǎn)撥：要注意本題的兩種情況，另外，弧長公式和扇形以及弓形的面積求法要求正確掌握，熟練運(yùn)用。

  例7. 如圖5所示，已知正方形的邊長是4cm，求它的內(nèi)切圓與外接圓組成的圓環(huán)的面積。（答案保留）

（1999年廣州）

圖5

    解：設(shè)正方形外接圓、內(nèi)切圓的半徑為R、r，面積為

    。

    ∵

    ∴。

    常見錯(cuò)誤：此題最容易產(chǎn)生的問題是找不出正方形邊長的一半與兩圓的半徑之間的勾股關(guān)系。即不會(huì)運(yùn)用圓內(nèi)接正方形與圓外切正方形的性質(zhì)來解題。這一點(diǎn)讀者應(yīng)認(rèn)真體會(huì)。

  例8. 如圖6所示，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB＝BC＝CA＝6cm

圖6

    （1）求證：∠OBC＝30°；

    （2）求OB的長（結(jié)果保留根號(hào)）；

    （3）求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）。

    解：（1）AB＝BC＝CA，∴∠A＝60°

    ∴∠BOC＝120°，又∵OB＝OC，

    ∴∠OBC

    （2）過O作OD⊥BC于D，

    ∵OB＝OC，BC＝6cm，

    ∴

    ∵，

    ∴

    （3）∵

    ∴

    即陰影部分面積是。

    常見錯(cuò)誤：此題常見的問題是不會(huì)運(yùn)用正三角形這一條件，從而無法證明∠OBC＝30°；當(dāng)然，解直角三角形失誤，求扇形面積時(shí)公式記錯(cuò)產(chǎn)生的錯(cuò)誤，也是考試中的常見錯(cuò)誤，應(yīng)引起警惕。

  例9. 一個(gè)圓錐的高是10cm，側(cè)面展開圖是半圓，求圓錐的側(cè)面積。

    點(diǎn)悟：如圖7所示，欲求圓錐的側(cè)面積，即求母線長l，底面半徑r。由圓錐的形成過程可知，圓錐的高、母線和底面半徑構(gòu)成直角三角形即Rt△SOA，且SO＝10，SA＝l，OA＝r，關(guān)鍵找出l與r的關(guān)系，又其側(cè)面展開圖是半圓，可得關(guān)系，即。

圖7

    解：設(shè)圓錐底面半徑為r，扇形弧長為C，母線長為l，

    由題意得

    ∴  ①

    在Rt△SOA中，  ②

    由①、②得：。

    ∴所求圓錐的側(cè)面積為

    。

  例10. 圓錐的軸截面是等腰△PAB，且PA＝PB＝3，AB＝2，M是AB上一點(diǎn)，且PM＝2，那么在錐面上A、M兩點(diǎn)間的最短距離是多少？

    點(diǎn)悟：設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形PBB'，A點(diǎn)落在A'點(diǎn)，則所求A'、M之間的最短距離就是側(cè)面展形圖中線段A'M的長度。

    解：如圖8所示，扇形的圓心角＝360°

圖8

    ∴∠A'PB＝60°，在△A'PM中，過A'作A'N⊥PM于N，

    則

    ∴，

【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）

一、填表

    （1）已知：正n邊形邊長為a

    （2）已知：正n邊形半徑R

二、填空題：

  1. 如果扇形半徑長3cm，圓心角120°，則它的面積是_____________cm²。

  2. 若圓錐母線長5cm，高3cm，則其側(cè)面展開圖的圓心角是_____________度。

  3. 若圓錐底面半徑為3cm，母線長5cm，則它的側(cè)面展開圖面積是_____________cm²。

  4. 有一圓柱狀玻璃杯，底面半徑3cm，高為8cm，今有一長12cm的吸管斜放入杯中，若不考慮吸管粗細(xì)，則吸管最少露出杯口處的長度是_____________cm。

  5. 用一個(gè)半徑為30cm，圓心角為120°的扇形紙片做成一圓錐側(cè)面，那么圓錐底面半徑是_____________cm。

  6. 如圖1，正方形ABCD邊長為2，分別以AB、BC為直徑在正方形內(nèi)作半圓，則圖中陰影部分面積為_____________平方單位。

圖1

  7. 如圖2，AB＝2cm，∠AOB＝90°，AO＝BO，以O為圓心，OA為半徑作弧AB，以AB為直徑做半圓AmB，則半圓和弧AB所圍陰影部分面積是_____________cm²。

圖2

  8. 若圓錐側(cè)面積為，母線長5cm，則圓錐的高為_____________cm。

  9. 圓柱表面積為，它的高為2cm，則底面半徑為_____________cm。

  10. 矩形ABCD中，AC＝4cm，∠ACB＝30°，以直線AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到圓柱表面積為_____________cm²。

三、解答題：

  11. 已知扇形的半徑為，它的面積恰好等于一個(gè)半徑為的圓面積，那么這個(gè)扇形的圓心角為多少度？

  12. 如圖3，已知半圓O，以AD為直徑，AD＝2cm，B、C是半圓弧的三等分點(diǎn)，求圖中陰影部分面積。

圖3

  13. 已知如圖，割線PCD過圓心O，且PD＝3PC，PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B，∠PAB＝60°，PA＝，AB與PD相交于E，求弓形ACB的面積。

【試題答案】

一、填表：

    （1）

    （2）

二、填空題：

  1.                             2. 288                          3.

  4. 2                          5. 10                            6.

  7. 1                          8. 4cm                         9. 3cm

  10.

三、解答題：

  11. 解：由題意，設(shè)所求圓心角為°，則

    答：所求扇形圓心角為60°

  12. 解：連結(jié)OB、OC

    ∵

    ∴

  13. 解：連結(jié)OA、OB，在Rt△AEP中，∠PAB＝60°

    ∴∠APD＝30°

    在Rt△OAP中，

    ∴∠AOP＝60°，OA＝4，PO＝8

    ∴∠AOB＝120°

    ∴

    由題意，PD＝3PC

    ∴

    PC＝4，PD＝12

    ∴CD＝8

    由題意：

    ∴

    ∴OE＝3

    ∴

    ∴