［學(xué)習(xí)目標(biāo)］

  1. 正多邊形的有關(guān)概念；正多邊形、正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角。正n邊形的半徑，邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形。

  2. 正多邊形和圓的關(guān)系定理

    任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓，因此可采用作輔助圓的辦法，解決一些問題。

  3. 邊數(shù)相同的正多邊形是相似多邊形，具有以下性質(zhì)：

    （1）半徑（或邊心距）的比等于相似比。

    （2）面積的比等于邊心距（或半徑）的比的平方，即相似比的平方。

  4. 由于正n邊形的n個頂點n等分它的外接圓，因此畫正n邊形實際就是等分圓周。

    （1）畫正n邊形的步驟：

    將一個圓n等分，順次連接各分點。

    （2）用量角器等分圓

    先用量角器畫一個等于的圓心角，這個角所對的弧就是圓的，然后在圓上依次截取這條弧的等弧，就得到圓的n等分點，連結(jié)各分點即得此圓的內(nèi)接正n邊形。

  5. 對于一些特殊的正n邊形，如正四邊形、正八邊形、正六邊形、正三角形、正十二邊形還可以用尺規(guī)作圖。

  6. 圓周長公式：，其中C為圓周長，R為圓的半徑，把圓周長與直徑的比值叫做圓周率。

  7. n°的圓心角所對的弧的弧長：

    n表示1°的圓心角的度數(shù)，不帶單位。

  8. 正n邊形的每個內(nèi)角都等于，每個外角為，等于中心角。

二. 重點、難點：

  1. 學(xué)習(xí)重點：

    正多邊形和圓關(guān)系，弧長公式及應(yīng)用。

    正多邊形的計算可轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題。

    只有正五邊形、正四邊形對角線相等。

  2. 學(xué)習(xí)難點：

    解決有關(guān)正多邊形和圓的計算，應(yīng)用弧長公式。

【典型例題】

  例1. 正六邊形兩條對邊之間的距離是2，則它的邊長是（    ）

    A.                 B.                C.                 D.

    解：如圖所示，BF＝2，過點A作AG⊥BF于G，則FG＝1

    又∵∠FAG＝60°

    故選B

    點撥：正六邊形是正多邊形中最重要的多邊形，要注意正六邊形的一些特殊性質(zhì)。

  例2. 正三角形的邊心距、半徑和高的比是（    ）

    A. 1∶2∶3                          B.

    C.                    D.

    解：如圖所示，OD是正三角形的邊心距，OA是半徑，AD是高

    設(shè)，則AO＝2r，AD＝3r

    ∴OD∶AO∶AD＝r∶2r∶3r＝1∶2∶3

    故選A

    點撥：正三角形的內(nèi)心也是重心，所以內(nèi)心到對邊的距離等于到頂點距離的。通過這個定理可以使問題得到解決。

  例3. 周長相等的正三角形、正四邊形、正六邊形的面積之間的大小關(guān)系是（    ）

    A.                  B.

    C.                  D.

    解析：設(shè)它們的周長為，則正三角形的邊長是，正四邊形的邊長為，正六邊形的邊長為

    故選B

    點撥：一定要注意三個正多邊形的周長相等這一重要條件，否則容易得出錯誤結(jié)論。

  例4. 如圖所示，正五邊形的對角線AC和BE相交于點M，求證：

    （1）；

    （2）

    點悟：若作出外接圓可以輕易解決問題。

    證明：（1）正五邊形必有外接圓，作出這個輔助圓，則

    ∴∠BEA＝36°

    （2）

    又∵公共角∠ABM＝∠EBA

    ∴△ABM∽△EBA

  例5. 已知正六邊形ABCDEF的半徑為2cm，求這個正六邊形的邊長、周長和面積。

    解：∵正六邊形的半徑等于邊長

    ∴正六邊形的邊長

      正六邊形的周長

      正六邊形的面積

    點撥：本題的關(guān)鍵是正六邊形的邊長等于半徑。

  例6. 已知正方形的邊長為2cm，求它的外接圓的外切正三角形的邊長和面積。

    解：∵正方形的邊長為2cm

    ∴正方形的外接圓半徑為cm

    ∴外接圓的外切正三角形一邊上的高為cm

    ∴正三角形的邊長為

    ∴正三角形的面積為

    點撥：本題的重點是正方形的邊長、圓的半徑和正三角形的半徑之間的關(guān)系。

  例7. 如圖所示，已知⊙和⊙外切于點P，⊙和⊙的半徑分別為r和3r，AB為兩圓的外公切線，A、B為切點，求AB與兩弧所圍的陰影部分的面積。

    解：連結(jié)，過點作

    在中，

    ∴梯形的面積為：

    又∵

    ∴扇形的面積為：

      扇形的面積為：

    ∴陰影部分的面積為：

    點撥：求組合圖形的面積一般要構(gòu)造出易解決問題的基本圖形，然后求出各圖形的面積，最后通過面積的加減得出結(jié)論。

  例8. 如果弧所對的圓心角的度數(shù)增加1°，設(shè)弧的半徑為單位1，則它的弧長增加___________。

    解：由弧長公式，得：

    當(dāng)弧所對的圓心角的度數(shù)增加1°，則弧長為

    ∴弧長增加，故填

    點撥：本題主要考查弧長公式。

  例9. 如圖，大的半圓的弧長為a，n個小圓的半徑相等，且互相外切，其直徑和等于大半圓的直徑，若n個小半圓的總弧長為b，則a與b之間的關(guān)系是（    ）

    A.              B.             C.              D.

    解：設(shè)大半圓的半徑為R，小半圓的半徑為r

    由題意，得：

    ∴小圓的半徑

    ∴每個小半圓的弧長為

    ∴n個小半圓的總弧長

    即，故選A。

    點撥：本題的關(guān)鍵是大半圓的半徑和小半圓的半徑之間的關(guān)系，然后通過弧長和半徑之間的關(guān)系求解。

  例10. 如圖所示，兩個同心圓被兩條半徑截得的的長為，的長為，若，則圖中陰影部分的面積為（    ）

    A.              B.               C.         D.

    解：設(shè)∠O＝α，由弧長公式得：

    又

    ∴陰影部分的面積為：

    故選C

    點撥：本題主要考查弧長、扇形面積的有關(guān)計算，要熟記公式，正確運用。

  例11. 如圖所示，⊙O的半徑OA為R，弦AB將圓周分成弧長之比為3∶7的兩段弧，求弦AB的長，如果將3∶7改為m∶n，此時弦AB的長度是多少？

    點悟：欲求弦長AB，需用弦長公式，需知圓心角的度數(shù)，∠AOB可通過兩弧長之比3∶7求得，再利用求得AD，AB就可求。

    解：作OD⊥AB于D，連結(jié)OB

    ∵這兩段弧之比為3∶7

    ∴這兩段弧所對的圓心角之比也為3∶7

    設(shè)這兩個圓心角的度數(shù)為3x，7x，則

    即

    ∴∠DOA＝54°，又

    ∴AD＝Rsin54°

    ∵AB＝2AD

    同理可得3∶7改為m∶n時，解得：

    點撥：有關(guān)正多邊形的計算，都要作出它的半徑和邊心距為輔助線，從而將問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題。

  例12. 已知正六邊形邊長為a，求它的內(nèi)切圓的面積。

    點悟：欲求內(nèi)切圓的面積，根據(jù)圓面積公式，需求內(nèi)切圓的半徑OH，可依據(jù)正六邊形的性質(zhì)及邊長a求得，代入面積公式，即可。

    解：如圖所示，設(shè)正六邊形的邊長，內(nèi)切圓的圓心為O，連結(jié)OA、OB，作OH⊥AB于H，則∠AOH＝30°

  例13. 已知正多邊形的周長為12cm，面積為，則內(nèi)切圓的半徑為__________。

    解：設(shè)正多邊形是正n邊形，圓半徑為r

    ∵正多邊形的周長是12cm

    ∴正多邊形的邊長是

    又∵正多邊形的面積是

    故應(yīng)填2cm。

    點撥：要注意內(nèi)切圓半徑等于正多邊形的邊心距這一重要概念。

【模擬試題】（答題時間：30分鐘）

一. 判斷題。

  1. 各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形。（    ）

  2. 各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形。（    ）

  3. 各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形。（    ）

  4. 各角相等的圓外切多邊形是正多邊形。（    ）

  5. 一個四邊形不一定有外接圓或內(nèi)切圓。（    ）

  6. 矩形一定有外接圓，菱形一定有內(nèi)切圓。（    ）

  7. 三角形一定有外接圓和內(nèi)切圓，且兩圓是同心圓。（    ）

  8. 依次連結(jié)正多邊形各邊中點所得的多邊形是正多邊形。（    ）

二. 填空題。

  9. 若正多邊形內(nèi)角和是540°，那么這個多邊形是_________邊形。

  10. 兩個圓的半徑比為2∶1，大圓的內(nèi)接正六邊形與小圓的外切正六邊形的面積比為__________。

  11. 有一修路大隊修一段圓弧形彎道，它的半徑R是36m，圓弧所對的圓心角為60°，則這段彎道長約________m（精確到0.1m，）。

三. 解答題。

  12. 已知半徑為R的圓有一個外切正方形和內(nèi)接正方形，求這兩個正方形的邊長比和面積比。

  13. 如圖，△AFG中，AF＝AG，∠FAG＝108°，點C、D在FG上，且CF＝CA，DG＝DA，過點A、C、D的⊙O分別交AF、AG于點B、F。

    求證：五邊形ABCDE是正五邊形。

  14. 如圖：三個半徑的圓兩兩外切，求由三條切點弧圍成的陰影圖形的周長。

【試題答案】

一. 判斷題。

  1. ×                 2. ×             3. √             4. √

  5. √                 6. √             7. ×             8. √

二. 填空題。

  9. 正五             10. 3∶1                11. 37.7

三. 解答題。

  12. 邊長比，面積比2∶1

  13. 易求∠F＝∠G＝36°

    ∴∠FAC＝∠GAD＝∠CAD＝36°

    從而，

    由△AFC≌△AGD得：AC＝AD

    ∴ABCDE是正五邊形

  14. 利用弧長公式，關(guān)鍵是求出三段弧所對圓心角的度數(shù)。

    且

    ∴∠B＝90°，∠A＝30°，∠C＝60°

    ∴陰影部分周長