［學習目標］

  1. 熟練掌握二次三項式的意義；了解二次三項式的因式分解與解一元二次方程的關系；運用一元二次方程的求根公式在實數(shù)范圍內(nèi)將二次三項式分解因式。

  2. 學會用列一元二次方程的方法解實際應用題。

  3. 通過二次三項式的因式分解的學習，提高分析問題，解決問題的能力；進一步了解認識問題和解決問題的一般規(guī)律，即由一般到特殊，再由特殊到一般。

  4. 通過一元二次方程的應用的學習，提高化實際問題為數(shù)學問題的能力和分析問題，解決問題的能力，培養(yǎng)用數(shù)學的意識；深刻體會轉化，方程，數(shù)形結合等初等數(shù)學的思想方法。

二. 重點、難點：

  1. 教學重點：

    ①應用公式法將二次三項式因式分解；會用列一元二次方程的方法解決實際應用的問題。

    ②在列一元二次方程的方法解應用題時，分析題意找出表示全部含義的相等關系，是能否列出方程的前提和保證。

  2. 教學難點：

    ①一元二次方程的根與二次三項式因式分解的關系；一個二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解的條件。

    ②在列一元二次方程的方法解應用題時，分析題意找等量關系是難點；注意求解后，檢驗根是否符合實際意義。

【典型例題】

  例1. 分解因式

    ①                           ②

    ③                   ④

    ⑤

    分析：前四個均為二次三項式或二元二次三項式的因式分解，直接用公式進行分解。

    其中為方程的兩根。

    ，其中為關于x的方程的兩根。

    第五個用平方差公式，再用公式法分解二次三項式。

    解：①令

    ∴

    ②解法1：令，則

    ∴

    解法2：

    解法3：

    ③令，解這個關于x的方程得：

    ∴

    ④∵

    ∴不能因式分解，在實數(shù)范圍。

    ⑤

    ∵令，無實根。

    ∴在實數(shù)范圍內(nèi)不能分解因式。

    ∵令

    ∴

    ∴

    點撥：②中三種方法各有千秋，公式法，配方法，十字相乘法，注意結果寫成冪的形式。③二元時選其中一元為主元，另一元為已知數(shù)，即可。注意最終結果的簡潔形式，④⑤中都要考慮二次三項式可在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解的條件是：，⑤要綜合應用，并注意因式分解必須徹底。

  例2. 分解因式：

    分析：形如的多項式，叫關于x，y的二元二次多項式，它的因式分解有三種方法：①雙十字相乘法，②待定系數(shù)法，③公式法。

    解：解法1：

    ∵

    ∴

    解法2：設

    比較對應項系數(shù)

    ∴

    解法3：整理為關于x的二次三項式

    令，則

    ∴

    ∴

  例3. 黃崗百貨商店服裝柜銷售中發(fā)現(xiàn)：“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元，為迎接“六·一”，商場決定降價，擴大銷售量，增加盈利，減少庫存。經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝每降價4元，那么每天平均可多售8件，要想每天平均在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應降價多少元？

    分析：經(jīng)濟類問題應用。要切實理解減少庫存是本題需要。

    解：設每件童裝應降價x元，根據(jù)題意，

    解得：

    因要減少庫存，∴，

    答：每件童裝應降價20元。

 例4. 某中學的校辦工廠的年產(chǎn)值1998年是50萬元，年年增加，到2000年達60.5萬元。問（1）平均每年的年產(chǎn)值增長率是多少？（2）三年總產(chǎn)值多少？

    分析：儲蓄中復利計本利和與生產(chǎn)值增長率問題。假設年利率為x，本金a，則n年后本利和為，增長率亦如此。

    解：（1）設每年平均增長率x，則1999年產(chǎn)值萬元，2000年產(chǎn)值萬元，

    由題意：

    解得：（不合題意，舍去）

    答：平均每年增長率為10%。

    （2）

    答：1998至2000年這三年總產(chǎn)值為165.5萬元。

    點撥：注意舍去不合題意的根，別忽略（2）的計算與做答。

  例5. 兩個連續(xù)偶數(shù)積為288，求這兩個數(shù)。

    分析：兩個連續(xù)偶數(shù)差2，可設x，。

    解：設這兩個偶數(shù)分別為x，x+2，根據(jù)題意，

    解得：

    答：這兩個連續(xù)偶數(shù)是16，18或－18，－16。

    點撥：如果兩個連續(xù)奇數(shù)也可這樣設，但更好的設法是：

    ，就有

    ∴更簡單。

  例6. 一個矩形的硬紙片，它的長比寬的2倍少4厘米，在它的四個角上各剪去一個邊長為2厘米的正方形，然后折成一個無底的小盒子，如果這個小盒的體積為484立方厘米，求原來矩形紙片的長和寬。

    分析：設原矩形寬為x厘米，那么長厘米，在四個角各剪去一個邊長為2厘米的正方形折成無蓋小盒，則小盒底面寬為厘米，長為厘米，高為2厘米。

    解：設原矩形紙片的寬為x厘米，則長為厘米，根據(jù)題意列方程，得：

    ∴（負值舍去）

    ∴

    答：原矩形紙片的長為26厘米，寬為15厘米。

    點撥：列一元二次方程可解決體面積有關的應用題，注意舍根。

  例7. 一個直角三角形，斜邊，兩條直角邊長相差，求這個直角三角形的兩條直角邊的長。

    分析：在Rt△中，三邊a，b，c滿足，這是構造方程的相等關系。

    解：設一條直角邊長為x cm，則另一條邊長為。

    根據(jù)題意列方程 

                解得  （不合題意，舍去）

    。

    答：兩條直角邊長分別是8cm和4cm。

    點撥：很多幾何題求邊時，用方程思想解決，而相等關系多由勾股定理提供，掌握本題很重要，體現(xiàn)了“幾何問題代數(shù)化”。

  例8. 用100cm的金屬絲，作成矩形的框子，使面積分別為（1）500cm²；（2）625cm²；（3）800cm²。是否辦得到，求出它的長和寬（精確到mm）。

    分析：可列方程組解決面積問題。

    解：設矩形長為x(cm)，寬為y(cm)，則

    （1）

    由為方程的兩根。

    答：面積為500cm²時，長約是36.2cm，寬約是13.8cm。

    （2）

    易知x，y是方程的兩根，

    答：面積為625cm²時，長是25cm，寬也是25cm，圍成邊長25cm的正方形。

    （3）

    x，y為方程的兩根，

    無實根。

    答：面積800cm²，周長100cm的矩形不存在。

    點撥：解題后，思考三小題：用100cm長的鐵絲圍成500cm²的矩形做成了；再圍大點，面積625cm²，圍成了正方形；再大點，面積800cm²，圍不成。長度有限的鐵絲怎能圍出要多大，有多大的矩形呢！當正方形時面積達到最大值。

［總結擴展］

    （1）用公式法將二次三項式因式分解的步驟是先求出方程的兩個根，再將形式。

    （2）二次三項式因式分解的條件是：當，二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)可以分解；時，二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)不可以分解。

    （3）聯(lián)系所學知識總結出遇見二次三項式因式分解的步驟：①首先考慮能否提取公因式；②其次考慮能否選用十字相乘法；③最后考慮公式法。

    （4）通過二次三項式因式分解的學習，提高分析問題、解決問題的能力；通過結論探索、發(fā)現(xiàn)、推導、產(chǎn)生的過程，培養(yǎng)學生的探索精神，激發(fā)學生的求知欲望，對學生進行辯證唯物主義思想教育，滲透認識事物的一般規(guī)律。

    （5）注意：①在進行類似分解因式時，千萬不要漏掉字母y；②因式分解一定進行到不能再分解為止；③分解時注意二次三項式因式分解的條件。

    （6）“一元二次方程的應用”是“一元一次方程的應用”的繼續(xù)和發(fā)展。由于用一元一次方程（或一次方程組）解的應用題，一般都可以用算術方法解，而用一元二次方程來解的應用題，一般說是不能用算術法來解的。所以，通過學習大家要認識到用代數(shù)方法解應用題的優(yōu)越性和必要性。

    （7）列方程解應用題的方法來說，列出一元二次方程解應用題與列出一元一次方程解應用題類似，都是根據(jù)問題中的相等關系列出方程，解方程，判斷根是否適合題意，作出正確的答案。列出一元二次方程，其應用相當廣泛，如在幾何、物理及其他學科中都有大量問題存在。

    （8）善于將實際問題轉化為數(shù)學問題，嚴格審題，弄清各數(shù)據(jù)相互關系，正確布列方程。由此培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識，滲透轉化與方程的思想方法。

    （9）進一步體會數(shù)字在實踐中的應用，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力。

【模擬試題】（答題時間：30分鐘）

一、選擇題

  1. 下列多項式不能在實數(shù)范圍內(nèi)分解的是

    A.                                  B.

    C.                            D.

  2. 多項式實數(shù)范圍內(nèi)分解如下

    A.

    B.

    C.

    D.

  3. 兩個連續(xù)正整數(shù)的和的平方比它們的平方和大112，則這兩個正整數(shù)是

    A. 5，6                        B. 7，8                 C. 8，9                 D. 6，7

  4. 某印刷廠一月印50萬冊，二，三月共印132萬冊，問二、三月平均每月增長的百分數(shù)是

    A. 20%                 B.                C. 10%                        D. 15%

  5. 某工廠計劃在長24米，寬20米的空地中間劃出一塊32平方米的長方形建一住房，并且四周剩余地一樣寬，那么這寬度應是

    A. 14米                              B. 8米

    C. 14米或8米                    D. 以上都不對

二、填空題

  6. 因式分解

    ①＝

    ②＝

    ③＝

    ④＝

    ⑤＝

  7. 一個兩位數(shù)等于它個位數(shù)的平方，且個位數(shù)比十位數(shù)大3，則這個兩位數(shù)是_________。

  8. 某藥品經(jīng)兩次降價，從原來每箱60元降為每箱48.6元，平均每次降價率為_________。

  9. 有兩個數(shù)不等，和17，積比小點數(shù)的平方大30，用方程求這兩數(shù)，設_________，根據(jù)題意，列方程得_________。

  10. 一矩形面積132cm²，周長46cm，則矩形長是_________，寬是_________。

  11. 連續(xù)兩個正奇數(shù)的平方和等于202，這兩個奇數(shù)中較小的是_________。

三、解答題：

  12. 已知二次三項式是一個完全平方式，求m的值。

  13. 面積為150m²的矩形雞場，長邊靠墻（墻長18m），另三邊用竹籬笆圍成，若籬笆長35m，求雞場的長和寬。

  14. 一批上衣原來每件500元，第一次降價，銷售甚慢，第二次大幅降價的百分率是第一次的2倍，結果以每件240元價格迅速售出，求每次降價的百分率。

  15. 在長為a的線段AB上有一點C，且AC是AB、BC的比例中項，求線段AC的長。

【試題答案】

一、選擇題

  1. C                   2. B               3. B               4. A               5. B

二、填空題

  6. ①

    ②

    ③

    ④

    ⑤

  7. 25或36

  8. 10%

  9. 小數(shù)為x，

  10. 12cm，11cm

  11. 9

三、解答題：

  12. 解：

    ∵原二次三項式是完全平方式

    ∴

  13. 解：設籬笆長為x cm，根據(jù)題意，

    解得：

    檢驗：，雞場長超過墻長是不可能的，舍去。

    又

    答：雞場長為15m，寬為10m。

  14. 設第一次降價的百分率為x，則第二次降價的百分率為2x，

    依題意 

    即

    ∴（不合題意，舍去）

    又

    答：第一次降價20%，第二次降價40%。

  15. 解：由題意，

    （舍負）

    ∴

    答：線段AC長為a。

【勵志故事】

用進廢退

意大利小男孩托蒂有一只十分奇怪的眼睛。說“十分奇怪”，主要是因為眼科大夫多次會診得出的結論都相同：從生理上看，這是一只完全正常的眼睛。但是這只眼睛卻是失明的。一只完全正常的眼睛何以失明了呢？原來，當小托蒂呱呱墜地時，由于這只眼睛輕度感染，曾被繃帶纏了兩個星期，正是這種對常人來說幾乎沒有任何副作用的治療，對剛剛出生、大腦正處于構建發(fā)育關鍵期的嬰兒托蒂造成了極大的傷害。他的大腦由于長時間無法從這只眼睛接受任何外界信息，就認為它瞎了，于是原先該為它工作的大腦神經(jīng)組織也隨之“戰(zhàn)略轉移”了。

小托蒂遭遇的不幸并非偶然性的特殊個案。后來，研究人員在動物身上做了很多類似的實驗，發(fā)現(xiàn)結果都是一樣的，都嚴格執(zhí)行著“用進廢退”的規(guī)則。