幾何：關(guān)于三角形的一些概念

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］

    代數(shù)：掌握運用平方差公式、完全平方公式進(jìn)行因式分解。

    幾何：理解三角形的基本概念并會畫出三角形的高、中線、角平分線。

二. 重點、難點：

（一）重點：

  1. 代數(shù)：用公式法分解因式。

  2. 幾何：理解基本概念，會畫三條重要線段。

（二）難點：

  1. 代數(shù)：正確地運用公式分解因式。

  2. 幾何：畫出三角形的三條重要線段，特別是鈍角三角形的高。

三. 內(nèi)容概要：

    ［代數(shù)］用公式法分解因式

  1. 平方差公式：

    （1）公式特點：左邊是平方差的形式，右邊是兩數(shù)和與差的乘積。

    （2）符號含義：公式中的符號a、b可以是：任何數(shù)、單項式、多項式。

    （3）應(yīng)用公式的條件：多項式可以寫成兩部分的平方差的形式，即。

  2. 完全平方公式：

    （1）公式特點：左邊是一個三項式，兩個數(shù)的平方和加上（或減去）這兩數(shù)的積的2倍，右邊是這兩個數(shù)和（或差）的平方。

    （2）符號含義：公式中符號a、b可以是：任何數(shù)、單項式、多項式。

    （3）應(yīng)用公式的條件：多項式可以寫成三部分，符合以下條件：

  3. 解題步驟：

    （1）觀察多項式，如果能提公因式，先提公因式。

    （2）觀察多項式，只有使多項式符合公式特點，才能利用公式因式分解。

    （3）在因式分解的結(jié)果中，保證每一個因式都不能再分解。

    ［幾何］

  1. 三角形基本概念：三角形、邊、角、頂點

  2. 三角形的三條重要線段：

    （1）三角形的角平分線

    （2）三角形的中線

    （3）三角形的高

    ①銳角三角形

    ②直角三角形

    ③鈍角三角形

【典型例題】

  例1. 將分解因式。

    分析：式中沒有明顯的平方差結(jié)構(gòu)，但提取公因式x后，剩下的因式就可以用平方差公式。

    解：

      ——等價變形

      ——合并同類項

    小結(jié)：先提取公因式，再利用平方差公式。

  例2. 將分解因式。

    分析：該多項式有三部分，但沒有明顯的完全平方結(jié)構(gòu)。如果提取公因式，就可用完全平方式了。

    解：

    小結(jié)：提公因式與完全平方公式混合使用分解因式。

  例3. 將分解因式。

    分析：該多項式有三項，二項平方和，另一項是，的積的2倍，符合完全平方差公式。

    解：

       ——要保證因式不可再分解

    小結(jié)：平方差公式、完全平方差公式混合使用。

  例4.

    分析：該多項式有二項，符合平方差公式的結(jié)構(gòu)，由平方差公式得，則都是完全平方式，可再用完全平方式把因式分解到最簡。

    解：

      ——完全平方式

    小結(jié)：平方差公式、完全平方公式混合使用。

  例5. 計算：

    分析：這道題可直接計算，但比較繁瑣。仔細(xì)觀察，該式有兩項，且是兩項的平方差，所以可用平方差公式因式分解，再計算。

    解：

      ——平方差公式

    小結(jié)：利用公式因式分解后再計算，可使計算簡便。

  例6. 判斷對錯，對的打“√”號，錯的打“×”號。

    （1）三角形的頂點到對邊的距離是三角形的高。（    ）

    （2）三角形的高所在直線交于一點，這點不是在三角形內(nèi)，就是在三角形外。（    ）

    （3）過三角形的一個頂點和它對邊中點的直線是三角形的中線。（    ）

    （4）三角形的三條角平分線交于一點，且這點在三角形內(nèi)。（    ）

    （5）三角形的角平分線就是三角形內(nèi)角的平分線。（    ）

    解：（1）×。因為高是一條線段，高的長度才是三角形的頂點到對邊的距離。

    （2）×  。銳角三角形的高交于三角形內(nèi)部。

              鈍角三角形的高的延長線交于三角形外部。

              直角三角形的高交于三角形的直角頂點。

    （3）×。中線是線段。

    （4）√

    （5）×。角平分線是線段，不是直線。

【模擬試題】（答題時間：30分鐘）

一. 將下列各項因式分解。

    （1）

    （2）

    （3）

    （4）

二. 計算：

    （1）

    （2）

    （3）已知：，求：的值。

三. 證明題。

    （1）求證：能被120整除。

    （2）若a為大于1的整數(shù)，證明能被6整除。

四. 判斷題。

    （1）三角形的高是一條線。（    ）

    （2）三條線段組成的圖形叫做三角形。（    ）

    （3）三角形三條高都在三角形內(nèi)部。（    ）

    （4）三角形的角平分線是射線。（    ）

五. 解答題。

  1. 寫出含有AC邊的所有三角形，圖中共有幾個三角形？

  2. 已知三角形三邊為連續(xù)整數(shù)，且最小邊長既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)，求三邊長。

  3. △ABD的高與△ABC的高相等，若AB＝4cm，△ABC的面積，求△ABD中AB邊上的高。

【試題答案】

一. 將下列各式因式分解。

    （1）

    （2）

    （3）

    （4）

二. 計算。

    （1）原式

    （2）原式

    （3）

    ∴原式

三. 證明題。

    （1）

    故能被120整除

    （2）

    是三個連續(xù)整數(shù)

    是6的倍數(shù)

    能被6整除

四. 判斷題。

    （1）×         （2）×         （3）×         （4）×

五. 解答題。

  1. 含有AC邊的三角形：△AFC、△ADC、△AEC、△ABC，圖中共有9個三角形。

  2. 既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的數(shù)是2，∴三邊長為2，3，4。

  3. 在△ABC中，AB邊上的高

    而△ABD中AB邊上的高與△ABC中AB邊上的高相等

    ∴△ABD中AB邊上的高為6cm