杏花春雨江南，杭州西湖游人如織．一列豪華的船隊出現(xiàn)在湖上，緩緩向湖心駛去，原來是皇帝帶著大臣和嬪妃也來游湖了．

皇帝飽覽湖光山色之余，面對盈盈春水，忽然提出一個問題：“這西湖的水，如果用缸來舀，有多少缸呢？”

皇帝身邊的人聽了，個個面面相覷，半天答不上來．老宰相一向號稱智囊，這時只是皺眉搔頭；李妃平時伶牙俐齒，善于應對，這時也變成啞巴．皇帝問左邊的人，左邊的人惶恐地低頭；皇帝問右邊的人，右邊的人也同樣木然． 正在尷尬萬分的時候，船尾一位搖櫓的青年跑向船頭向皇帝跪下．

宰相喝問：“你有何事奏報？”

青年說：“啟奏萬歲，這西湖有多少缸水，要看用來量水的缸有多大．如果用跟西湖一樣大的缸來量，就是一缸；如果用比西湖小一半的缸來量，就是兩缸；如果用比西湖大一倍的缸來量呢，那就只有半缸了．”

皇帝聽了微微點頭說：“答得好！”又瞟了一眼面前的大臣嬪妃，不勝感慨地說：“想不到滿朝大臣、眾多嬪妃，連一個搖櫓青年都不如！”

細品上述故事，青年的確答的妙．妙就妙在一個眾人不易回答的問題，青年能分情況巧妙答出．他這種思考問題的方法，實際上就是數(shù)學中常說的分類討論思想．

所謂分類討論思想，就是首先根據(jù)題目要求確定分類對象；其次針對對象選擇分類標準進行合理分類；最后對分類合并歸納，作出綜合性結論．分類討論的思想是一種重要的數(shù)學思想，對培養(yǎng)思維的慎密性大有裨益．

等腰三角形是一種特殊的三角形，除具有一般三角形的性質(zhì)外，還具有一些獨特的性質(zhì)，如兩底角相等，兩腰相等．正是由于它的特殊性，我們在解等腰三角形的有關題目時必須全面思考，分類討論，以防漏解．

一、已知等腰三角形的一個角，求其他兩個角

例1  (10楚雄)已知等腰三角形的一個內(nèi)角為70°，則另兩個內(nèi)角的度數(shù)是(  )

A．55°，55°    B．70°，40°    C．55°，55°或70°，40°    D．以上都不對

分析：由于已知條件沒有明確告訴70°的角是頂角還是底角，因此需要分類討論．

解：當70°的角為頂角時，則每個底角的度數(shù)為×(180°-70°)=55°；

當70°的角為底角時，另一個底角也為70°，則其頂角的度數(shù)為180°-70°×2=40°．

所以另兩個內(nèi)角的度數(shù)為55°，55°或70°，40°，答案選C．

評注：在等腰三角形中，如果給定一個角的度數(shù)，求另外兩角的度數(shù)，也就是說，給定的角沒有明確是頂角還是底角，求解時，要按頂角或底角來進行分類討論．可以發(fā)現(xiàn)：當已知角為直角或鈍角時，該角只能為頂角，即只有一組解；當已知角為60°時，無論它是頂角還是底角，其他兩個角都是60°．

二、已知等腰三角形的兩邊，求周長

例2  (10襄樊)已知：一等腰三角形的兩邊長x、y滿足方程組，則此等腰三角形的周長為(  )

A．5    B．4    C．3    D．5或4

分析：解方程組可得x=2，y=1，由于長為2(或1)的邊可能是腰長，也可能是底邊長，因此需要分類討論．

解：解方程組，得．

所以等腰三角形的兩邊分別為2，1．

當腰長為2，底邊長為1時，因為1+2＞2，三邊能夠構成三角形，則其周長為2+2+1=5；

當腰長為1，底邊長為2時，因為1+1=2，三邊不能夠構成三角形．

所以等腰三角形的周長為5，答案選A．

評注：在等腰三角形中，如果給定兩邊的長，并沒有明確哪條邊是腰長或底邊長，求解時，要按腰或底邊來進行分類討論．需要注意的是：無論是通過哪一種假設得出的一組數(shù)值，都必須利用“三角形較短兩邊的和大于較長的邊”來驗證．

三、已知一條線段，確定符合條件的等腰三角形的頂點的個數(shù)

例3  (10荊門)如圖1，坐標平面內(nèi)一點A(2，-1)，O為原點，P是x軸上的一個動點，如果以點P、O、A為頂點的三角形是等腰三角形，那么符合條件的動點P的個數(shù)為(  )

                 圖1

A．2    B．3    C．4    D．5

分析：OA可能為底邊，也可能是腰，因此需要分類討論．

解：(1)當OA為底邊時，作OA的垂直平分線l交x軸于點P₁，則△OP₁A是以點P₁為頂點的等腰三角形；

(2)當OA為腰時，①以點O為圓心，以OA為半徑畫弧，交x軸于點P₂，則△P₂OA是以點O為頂點的等腰三角形；②以點A為圓心，以OA為半徑畫弧，交x軸于點P₃(另一交點為O)，則△P₃AO是以點A為頂點的等腰三角形．

所以符合條件的動點P的個數(shù)有三個，答案選B．

評注：從本例不難發(fā)現(xiàn)已知一條線段求符合條件的等腰三角形的頂點的個數(shù)的方法：作已知線段的垂直平分線或以已知線段的一個端點為圓心，已知線段長為半徑畫弧，垂直平分線或弧與相關直線的交點即為符合條件的等腰三角形的頂點．

四、已知一個等腰三角形，確定從一個頂點出發(fā)的直線將其分割成兩個等腰三角形的頂角或底角的度數(shù)

例4  (10天門)從一個等腰三角形紙片的底角頂點出發(fā)，能將其剪成兩個等腰三角形紙片，則原等腰三角形紙片的底角等于＿＿＿＿．

分析：如圖2，在△ABC中，AB=AC，過底角頂點B的直線將△ABC分成兩個等腰三角形△ABD和△BCD．其中在等腰三角形△ABD中，必有AD=BD(為什么？)，從而等腰三角形△ABD的形狀確定．而在等腰三角形△BCD中，只有兩種可能情況：BD=BC或BC=CD(為什么沒有BD=CD？)．因此解答本題需要分類討論．

      圖2

解：在△ABC中，AB=AC，過底角頂點B的直線將△ABC分成兩個等腰三角形△ABD和△BCD．

(1)若AD=BD，BD=BC，如圖3，

    圖3

則∠A=∠ABD，∠C=∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A．

∴∠A+2∠A+2∠A=180°．

∴∠A=36°．∴∠ABC=72°．

(2)若AD=BD，BC=CD，如圖4，

    圖4

則∠A=∠ABD，∠CBD=∠CDB=∠A+∠ABD=2∠A．

∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=3∠A．

∴∠A+3∠A+3∠A=180°．

∴∠A=()°．∴∠ABC=()°．

綜合(1)、(2)，原等腰三角形紙片的底角等于72°或()°．

反思：上述中考題是從一個等腰三角形紙片的底角頂點出發(fā)，如果從一個等腰三角形紙片的頂角頂點出發(fā)，情況又如何呢？請同學們思考．

快樂體驗：

1．(10泰州)等腰△ABC的兩邊長為2和5，則第三邊長為＿＿＿．

2．(10東陽)已知等腰三角形的一個內(nèi)角為40°，則這個等腰三角形的頂角為(  )

A．40°    B．100°    C．40°或100°    D．70°或50°

3．(10株洲)如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點．已知A、B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則點C的個數(shù)是(  )

A．6      B．7       C．8       D．9

4．(10內(nèi)江)下面的方格圖案中的正方形頂點叫做格點，圖1中以格點為頂點的等腰直角三角形有4個，圖2中以格點為頂點的等腰直角三角形有＿＿＿個，圖3中以格點為頂點的等腰直角三角形有＿＿＿個，圖4中以格點為頂點的等腰直角三角形有＿＿＿個.

參考答案：

1．5  2．C  3．C　4．10，28，50