為什么非要多賣幾張票

在航空公司的實際運營中，時常有買了票的乘客起飛前臨時退票或改簽而并未登機（我們稱之為No-show）。雖說航空公司要對此收取一些費用作為補償，但票沒賣出去畢竟是很大的浪費和損失。因此，為了解決這個問題，超售（overselling）的方法便應(yīng)運而生。

所謂機票超售，是說航空公司根據(jù)航班頻率、飛機載量、當(dāng)前訂座情況以及銷售和離港數(shù)據(jù)等，對旅客的 No-show 率進行市場預(yù)測后，再確定超售率，安排某航班機票的銷售數(shù)量超過飛機的原本商載座位數(shù)。簡單來說就是，賣出比航班總座位數(shù)多的機票。這樣不但可以充分利用航班座位，減少空位損失，提高航空公司的收益，同時也使得其他想乘機出行的旅客能夠成行，聽起來確實是個多方受益的好事。在 80 年代前，航空公司幾乎所有的收益管理研究都集中在超售上，這也成為了航空公司贏利的重要手段之一。以美國航空業(yè)為例，1978年，美國全國的年超售人數(shù)只有 10 萬左右，到1986年，就達到近百萬之多。

好事總要多磨，問題也沒有看上去那么簡單。超售雖能擴大盈利，可也會帶來一些不大不小的麻煩。要知道預(yù)測不可能總是完全準確的，有時也會出現(xiàn)所有旅客都沒改變行程，也就是沒人退票或者改簽的局面，這時麻煩就來了：登機人數(shù)大于座位數(shù)，必然有旅客要倒霉，坐不上飛機。這就是所謂的 DB（Denied Boarding）問題（實際 No-Show 率低于預(yù)測的 No-Show 率）。 買了票卻上不了飛機這種事無疑會給航空公司帶來不小的負面影響，遭到不公正待遇的旅客甚至?xí)c航空公司發(fā)生沖突，補償他們可是一筆不小的開支，如果倒霉的旅客數(shù)量過多，超售的成本上升很多不說，航空公司的聲譽也會受到巨大的影響，這些都是航空公司不愿看到的。

因而如何解決這個矛盾就成了大家十分關(guān)心的問題。根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計，在我國平均 No-show 率為 5% ~ 15％，因此如今國內(nèi)某些航空公司也采取了超售的銷售模式，但國內(nèi)航空公司對于超售問題主要是通過銷售人員的經(jīng)驗來確定超售的票數(shù)，遠沒有實現(xiàn)超售數(shù)量的優(yōu)化控制，造成了很大的不確定性。而從上世紀60年代起，國外就開始對超售進行研究，期望可以算出一個既能使航班效益盡可能大，又能讓因超售最后不幸“躺槍”的旅客盡可能少的最佳平衡點，即最佳售票數(shù)量。

數(shù)學(xué)模型算出最佳超售票數(shù)

在 1958 年， Beckmann 最早提出了一個非動態(tài)的超售模型，這個模型的目標是將座位虛耗與超售成本的和盡可能的最小化。而到了 1961 年， Thompson 提出了另一個模型，他忽略了旅客需求的概率分布和超售成本，提出了超售研究中一個關(guān)于座位取消概率的重要假設(shè)：一個座位的取消概率并不依賴于這個座位是個人訂座還是團體訂座，同時也不依賴于訂座的時間。1971年， Rothstein 在他的博士論文中提出了一個動態(tài)預(yù)定模型，對于只有一種乘客的無中停站航班，他利用 Bellman 的最優(yōu)化原理得到最優(yōu)超售策略。到 1978 年，美國經(jīng)濟學(xué)家 Julian Simon 又提出一個關(guān)于超售的補償方案，方法很簡單，超售需要改進的地方就是航空公司在售票的同時，交給客戶一個信封和一份投標書，讓顧客們填寫他們可以接受的延期飛行的最低賠償金額并裝進信封密封。一旦飛機出現(xiàn)超載，公司可選擇其中要求賠償金額數(shù)目最低的人給予現(xiàn)金補償，并優(yōu)先售給他們下一班飛機的機票。如此一來各方受益，就不會有任何人受到損害。這是個很聰明的方法，有效防止了某些蒙受損失的旅客朝航空公司漫天要價。 1980 年， Hersh 和 Brosh 提出一個模型，他們假設(shè)存在一條即時服務(wù)通道，把系統(tǒng)看作一個排隊系統(tǒng)來進行超售。最終到 1992年， ChatWin 建立了航空公司單一票價多階段的超售模型，并證明了最優(yōu)解的存在。

不過每個航空公司具體采用的超售模型都是商業(yè)機密，下面我們僅僅從最簡單的層面來分析一下超售模型的建立。

首先，機票超售的數(shù)量越多，那么飛機離港時出現(xiàn)空位的可能性就越小，但是旅客被拒絕登機的可能性就越大，造成拒絕登機損失增加。而機票超售數(shù)量越小，被拒登機的可能性就越小，但出現(xiàn)空位的可能性就越大，造成空位損失增大，它們之間的變化關(guān)系如下圖所示：

我們無非想知道怎么設(shè)定能收益最大，這個值受到如下若干參數(shù)的影響：

m：航班起飛前訂票的人數(shù)

c：常數(shù)，航班飛機實有的座位數(shù)

p：常數(shù)，機票價格，這里假設(shè)只有一種艙位，單一票價模型

b：常數(shù)，DB發(fā)生時，拒絕一名旅客登機給航空公司造成的損失

r ：隨機變量，起飛時顧客到達率

f(r)：顧客到達率的概率密度函數(shù)；

k：常數(shù)，航班一次飛行的總成本

e：航班一次飛行的總收益

據(jù)此我們寫出超售的收益表達式：

則收益 e 的期望 E 為：

因為我們要考慮如何取 m 使得收益最大，于是期望收益 E 對 m 求導(dǎo)，就得到：

也就是說，要使收益期望 E 達到最大值，c/m 的取值需要讓方程兩邊的積分相等。如圖所示就是 p （單張機票價格）乘上 R ₁ 部分的面積等于 b （賠付一名旅客所需費用）乘上 R ₂ 部分的面積。

如果 p 增加，要保持等式 P R ₁ = b R ₂ 成立，則 R ₁ 就要變小，也就是說 c/m 的值向左偏移，則 m 變大就是說機票價格越高，超售數(shù)量也應(yīng)隨之增加。如果 b 增加，則 R ₂ 就要變小，也就是說 c/m 向右做移，超售數(shù)量變少。

這個結(jié)論這與航空公司的實際操作也是相符的，機票價格越高，則超售的機票越多越好。賠償費用越高，則超售的機票越少越好。根據(jù)不同的概率密度模型，機票價格和賠償費用對超售數(shù)的影響都有所區(qū)別，不過在大多數(shù)模型中，超售票數(shù)對機票價格并不如賠償費用敏感，所以超售數(shù)仍然更多取決于航空公司對蒙受損失的旅客的賠償費用。目前國內(nèi)航空公司的超售數(shù)基本上一趟航班不超過 5 張。

相比賠付費用來說，現(xiàn)在航空公司可能更擔(dān)心因旅客未能登機而導(dǎo)致的聲譽受損。而對我們普通人來說，遇上買了票沒登機的幾率著實不大，倒是總是晚點更讓人鬧心。