一. 教學內(nèi)容：

勻速圓周運動的實例分析

二. 具體知識：

知識點1 火車、汽車、飛機等的轉彎

  1. 火車轉彎

（1）火車車輪的結構特點

火車的車輪有凸出的輪緣，且火車在軌道上運行時，有凸出輪緣的一邊在兩軌道內(nèi)側，這種結構特點，主要是有助于固定火車運動的軌跡（如圖所示）。

（2）如果轉彎處內(nèi)外軌一樣高，外側車輪的輪緣擠壓外軌，使外軌發(fā)生彈性形變，外軌對輪緣的彈力就是火車轉彎的向心力，如圖所示，但火車質(zhì)量太大，單靠這種辦法得到向心力，輪緣與外軌間的相互作用力太大，鐵軌和車輪極易受損。

（3）如果在轉彎處使外軌略高于內(nèi)軌，火車轉彎時鐵軌對火車的支持力的方向不再是豎直的，而是斜向彎道的內(nèi)側，它與重力G的合力指向圓心，為火車轉彎提供了一部分向心力，這就減輕了輪緣與外軌的擠壓，在修筑鐵路時，要根據(jù)彎道的半徑和規(guī)定的行駛速度，適當選擇內(nèi)外軌的高度差，使轉彎時所需的向心力幾乎完全由重力G和支持力的合力來提供（如圖所示）。

設內(nèi)外軌間的距離為L，內(nèi)外軌的高度差為h，火車轉彎的半徑為R，火車轉彎的規(guī)定速度為，由圖得向心力為

，

由牛頓第二定律得，所以。

即火車轉彎的規(guī)定速度。

（4）對火車轉彎時速度與向心力的討論

a. 當火車以規(guī)定速度轉彎時，等于向心力，這時輪緣與內(nèi)、外軌均無側壓力。

b. 當火車轉彎速度時，小于向心力，外軌向內(nèi)擠壓輪緣，提供側壓力，與共同充當向心力。

c. 當火車轉彎速度時，大于向心力，內(nèi)軌向外擠壓輪緣，產(chǎn)生的側壓力與共同充當向心力。

  2. 汽車轉彎

在水平公路上行駛的汽車，轉彎時所需的向心力，是由車輪與路面間的靜摩擦力提供的，即，因為靜摩擦力最大不能超過最大靜摩擦力，故要求車子轉彎時，車速不能太大和轉彎半徑不能太小。

思考：在高速公路的轉彎處，路面造得外高內(nèi)低是什么原因？

  3. 飛機轉彎

飛機在空中轉彎時，其機翼是傾斜的，飛機受到豎直向下的重力和垂直于機翼的升力作用，其合力提供轉彎所需要的向心力。當轉彎速度較大時，飛機的機翼傾斜角度增大，從而使重力與升力的合力增大，當轉彎速度較小時，飛機的機翼傾斜角度減小，從而使重力與升力的合力減小。

知識點2  拱形橋

  1. 汽車過拱形橋時，車對橋的壓力小于其重力

汽車在橋上運動經(jīng)過最高點時，汽車所受重力G及橋?qū)ζ渲С至?/SPAN>的合力提供向心力，如圖所示。

，

所以。

汽車對橋的壓力與橋?qū)ζ嚨闹С至κ且粚ψ饔昧εc反作用力，故汽車對橋的壓力小于其重力。

思考：汽車的速度不斷增大時，會發(fā)生什么現(xiàn)象？

由上面表達式可以看出，v越大，越小。當時，由G可得，若速度大于時，汽車所需的向心力會大于重力，這時汽車將“飛”離橋面，我們看摩托車越野賽時，常有摩托車飛起來的現(xiàn)象，就是這個原因。

  2. 汽車過凹形橋時，車對橋的壓力大于其重力

如圖所示，汽車經(jīng)過凹形橋最低點時，受豎直向下的重力和豎直向上的支持力，其合力充當向心力，則有，所以。

由牛頓第三定律知，車對橋的壓力，大于車的重力，而且還可以看出，v越大，車對橋的壓力越大。

思考：汽車不在拱形橋的最高點或最低點時，如圖所示，它的運動能用上面的方法求解嗎？

分析：可以用上面的方法求解，但要注意向心力的來源發(fā)生了變化，如圖所示，重力沿半徑方向的分力和垂直橋面的支持力的合力提供的向心力，設此時汽車與圓心的連線和豎直方向的夾角為，則有

，

所以。

橋面支持力與夾角、車速v都有關。

  3. 航天器中的失重現(xiàn)象

飛船環(huán)繞地球做勻速圓周運動，當飛船距地面高度為一二百千米時，它的軌道半徑近似等于地球半徑R，航天員受到的地球引力近似等于他在地面測得的體重mg，除了地球引力外，航天員還可能受到飛船座艙對他的支持力，引力與支持力的合力為他提供了繞地球做勻速圓周運動所需的向心力，即，也就是。

由此可以解出，當時，座艙對航天員的支持力，航天員處于失重狀態(tài)。

思考：地球可以看作一個巨大的拱形橋，橋面的半徑就是地球的半徑R（約為6400km）。地面上有一輛汽車，重量是，地面對它的支持力是，汽車沿南北方向行駛，不斷加速，如圖所示，會不會出現(xiàn)這樣的情況：速度大到一定程度時，地面對車的支持力是零？這時駕駛員與坐椅之間的壓力是多少？駕駛員軀體各部分之間的壓力是多少？他這時可能有什么感覺？

其實，這和飛船的情況相似，當汽車的速度達到時（代數(shù)計算可得），地面對車的支持力是零，這時汽車已經(jīng)飛起來了，此時駕駛員與坐椅間無壓力，駕駛員、車都處于完全失重狀態(tài)，駕駛員軀體各部分之間沒有壓力，他會感到全身都飄起來了。

知識點3 離心運動

做勻速圓周運動的物體，在所受合力突然消失或者不足以提供圓周運動所需的向心力情況下，就做逐漸遠離圓心的運動，這種運動叫做離心運動。

  1. 離心現(xiàn)象是物體慣性的表現(xiàn)（如圖所示）

（1）向心力的作用效果是改變物體的運動方向，如果物體所受到的合外力恰好等于物體所需的向心力，物體就做勻速圓周運動，此時，。

（2）如果向心力突然消失（例如小球轉動時繩子突然斷裂），則物體的速度方向不再變化，由于慣性，物體將沿此時的速度方向（即切線方向），按此時的速度大小飛出，這時。

（3）如果合外力小于物體做勻速圓周運動所需的向心力，雖然物體的速度方向還要變化，但速度方向變化較慢，因此物體偏離原來的圓周做離心運動，其軌跡為圓周和切線間的某條線，如圖所示，這時，。

  2. 離心運動的應用和危害

（1）利用離心運動制成離心機械，例如離心干燥器、洗衣機的脫水筒和離心轉速計等等。

（2）在水平公路上行駛的汽車，轉彎時所需的向心力是由車輪與路面間的靜摩擦力提供的，如果轉彎時速度過大，所需向心力F很大，大于最大靜摩擦力，汽車將做離心運動而易造成交通事故，如圖所示，因此，在轉彎處，為防止離心運動造成傷害：一是限定車輛的轉彎速度；二是把路面筑成外高內(nèi)低的斜坡以增大向心力。

三. 重點分析

（一）豎直平面內(nèi)物體做圓周運動

  1. 繩球模型

如圖所示，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動過最高點情況，軟繩（或軌道）對小球只能產(chǎn)生拉力（或壓力）的作用，小球在最高點時

（1）當，即時，為小球恰好過最高點的臨界速度。

（2）當，即時，繩（或軌道）對小球產(chǎn)生拉力（或壓力），小球能過最高點。

（3）當，即時，小球不能通過最高點，實際上小球還沒有到達最高點就已經(jīng)脫離了圓周軌道。

  2. 桿球模型

如圖所示，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動過最高點情況，輕桿和細線不同，輕桿對小球既能產(chǎn)生拉力，又能產(chǎn)生推力。

（1）當時，桿對球的支持力，此為過最高點的臨界條件。

（2）當時，，。

（3）當時，為支持力，v增大，則減小。

（4）當時，N為指向圓心的拉力，v增大，則增大。

（二）關于圓周運動實例的受力分析

我們所接觸的圓周運動分為兩類：一是水平面上的勻速圓周運動，除火車轉彎外，還有很多情形，如圖所示，這類問題需從兩個不同方向列式，即豎直方向上的平衡式及水平方向上的牛頓第二定律表達式（即向心力的表示式）。

另一類是豎直平面內(nèi)的非勻速圓周運動，但我們只研究物體運動到最高點和最低點時所對應的狀態(tài)，這兩個狀態(tài)可以用前面所學過的物理規(guī)律列式求解，豎直軌道也分不同情形，除講過的凸、凹形軌道外，還有如圖所示的管形軌道等，球在A點的受力較為復雜，內(nèi)、外壁對球的作用力如何，決定于球的運動速度。

【典型例題】

  例1 鐵路轉彎處的圓弧半徑是，軌距是1435mm，規(guī)定火車通過這里的速度是，內(nèi)外軌的高度差應該是多少，才能使外軌不受輪緣擠壓。

解析：火車轉彎速度與兩軌高度的關系

如圖（1）所示，設兩軌間距為L，兩軌高度差為h，則，向心力。

（1）

由于角很小，則，

故，再考慮，所以車速，由此可知，火車轉彎時，為保證安全，轉彎速度的大小應保持恒定，若車速過大，則外軌受沖擊；若車速過小，則內(nèi)軌受擠壓。

本題考查利用圓周運動知識解決實際問題的能力，若火車在轉彎時不受軌道擠壓，火車所受的重力和軌道對火車的支持力的合力提供向心力，同時還應該注意火車轉彎平面是水平面。

受力分析如圖（2）所示，作平行四邊形，根據(jù)牛頓第二定律有

（2）

由于很小，可以近似認為。

所以內(nèi)外軌高度差

。

答案：

點撥：火車在轉彎時做圓周運動，需要一定的向心力，向心力是由誰提供呢？

（1）彎道兩軌在同一水平面上時，向心力由內(nèi)、外軌道輪緣的擠壓力的合力提供。

（2）當外軌高于內(nèi)軌時，向心力由火車的重力和鐵軌的支持力以及內(nèi)外軌對輪緣的擠壓力的合力提供，這還與火車的速度大小有關。

  例2  2002年12月30日，我國成功發(fā)射并回收了“神舟”四號宇宙飛船，2003年10月15日成功發(fā)射了載人飛船，飛船中的宇航員需要在航天之前進行多種訓練，其中圖中是離心實驗器的原理圖，可以用此實驗研究過荷對人體的影響，測定人體的抗荷能力，離心實驗器轉動時，被測者做勻速圓周運動，現(xiàn)觀察到圖中的直線AB（線AB與艙底垂直）與水平桿成角，則被測者對座位的壓力是他所受重力的多少倍？

解析：人受重力和彈力的作用，兩個力的合力提供向心力，受力分析如圖所示。

在豎直方向

①

在水平方向

由①式解得

。

由牛頓第三定律知，人對座位的壓力是其重力的2倍。

答案：2倍。

  例3 如圖（1）甲所示，在光滑的圓錐頂用長為L的細線懸掛一質(zhì)量為m的小球，圓錐體固定在水平面上不動，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角為，物體以速率v繞圓錐體軸線做水平圓周運動，求：

（1）

（1）當時，求線對物體的拉力；

（2）當時，求線對物體的拉力。

解析：臨界條件為圓錐體對小球的支持力

如圖（1）乙所示，由牛頓第二定律可列出方程

。

解得。

（1）因，，對小球進行受力分析如圖（1）丙所示。

；

。

解得。

（2）因，物體離開斜面，對小球受力分析如圖（2）所示

；

。

解得。

答案：（1）   （2）

  例4 如圖所示，細繩一端系著質(zhì)量的物體，靜止于水平面，另一端通過光滑小孔吊著質(zhì)量的物體，M的中點與圓孔距離為0.2m，并知M和水平面的最大靜摩擦力為2N，現(xiàn)使此平面繞中心軸線轉動，問角速度在什么范圍內(nèi)m會處于靜止狀態(tài)？（）

解析：要使m靜止，M應與水平面相對靜止，考慮M能與水平面相對靜止的兩個極端狀態(tài)；

當為所求范圍的最小值時，M有向圓心運動的趨勢，水平面對M的靜摩擦力方向背離圓心，大于等于最大靜摩擦力2N，此時對M有

，且。

解得。

當為所求范圍的最大值時，M有遠離圓心運動的趨勢，水平面對M的靜摩擦力方向指向圓心，且大小也為2N，此時

，且。

解得。

答案：

方法點撥：分析兩個極端（臨界）狀態(tài)來確定變化范圍，是求解“范圍類”題目的基本思路和方法。

【模擬試題】

  1. 一汽車通過拱形橋頂點時速度為，車對橋頂?shù)膲毫檐囍氐?/SPAN>，如果要使汽車在橋頂對橋面沒有壓力，車速至少為

       A.                    B.                    C.                   D.

  2. 如圖所示，長為L的懸線固定在O點，在O點正下方處有一釘子C，把懸線另一端的小球m拉到跟懸點在同一水平面上無初速度釋放，小球到懸點正下方時懸線碰到釘子，則小球的

       A. 線速度突然增大

B. 角速度突然增大

C. 向心加速度突然增大

D. 懸線拉力突然增大

  3. 如圖所示，質(zhì)量不計的輕質(zhì)彈性桿P插入桌面上的小孔中，桿的另一端套有一個質(zhì)量的m的小球，今使小球在水平面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運動，且角速度為，則桿的上端受到球?qū)ζ渥饔昧Φ拇笮?/SPAN>

       A.                    B.        C.       D. 不能確定

  4. 如圖是用來說明向心力、質(zhì)量、半徑之間關系的儀器，球P和Q可以在光滑桿上無摩擦滑動，兩球之間用一條輕繩連接，已知，當整個裝置以角速度勻速轉動時，兩球離轉動軸的距離不變，則此時

       A. 兩球受的向心力大小相等

B. P球受的向心力比Q的大

C. 一定是的兩倍

D. 當增大時，P球?qū)⑾蛲膺\動

  5. （2007·江蘇模擬）如圖所示，水平轉臺上放著A、B、C三物，質(zhì)量分別為、m、m，離轉軸距離分別為R、R、2R，與轉臺摩擦因數(shù)相同，轉臺旋轉時，下列說法中正確的是

①物均未滑動，C物向心加速度最大

②物均未滑動，B物受摩擦力最大

③增加轉速，A物比B物先滑動

④增加轉速，C物先滑動

       A. ①②                       B. ②③                       C. ①④                       D. ②④

  6. 汽車在傾斜的彎道上拐彎，如圖所示，彎道的傾角為，半徑為r，則汽車完全不靠摩擦力轉彎速率是

       A.                 B.                C.                D.

  7. 飛行員的質(zhì)量為m，他駕駛飛機在豎直平面內(nèi)做圓周運動，當飛機飛到最高點時速度為v，飛行員對機座的壓力恰好為零，若飛機飛到最低點時速度為v′，求飛行員對機座的壓力是多少？

  8. 有一內(nèi)壁光滑的試管裝有質(zhì)量為1g的小球，試管的開端封閉后安裝在水平軸O上，如圖所示，轉動軸到管底小球的距離為5cm，讓試管在豎直面內(nèi)做勻速轉動。求：

（1）轉動軸達某一角速度時，試管底部受到小球的壓力的最大值為最小值的3倍，此時角速度多大？

（2）當角速度時，管底對小球的作用力的最大值和最小值各是多少？（g取）

  9. 如圖所示，長為L的繩子，下端連著質(zhì)量為m的小球，上端懸于天花板上，當把繩子拉直時，繩子與豎直方向的夾角為，此時小球靜止于光滑的水平桌面上，則

       （1）當球以角速度為做圓錐擺運動時，繩子的張力為多大？桌面受到的壓力為多大？

（2）當球以角速度為做圓錐擺運動時，繩子的張力及桌面受到的壓力又各為多大？

  10. 長為L的細線，拴一質(zhì)量為m的小球，一端固定于O點，讓其在水平面內(nèi)做勻速圓周運動（這種運動通常稱為圓錐擺運動），如圖所示，當擺線L與豎直方向的夾角是時，求：

（1）線的拉力F；

（2）小球運動的線速度的大?。?/SPAN>

（3）小球運動的角速度及周期。

  11. 如圖所示，一根長0.1m的細線，一端系著一個質(zhì)量是0.18kg的小球，拉住線的另一端，使球在光滑的水平桌面上做勻速圓周運動，當小球的轉速增加到原轉速的3倍時，細線斷裂，這時測得線的拉力比原來大40N。求：

（1）線斷裂的瞬間，線的拉力；

（2）這時小球運動的線速度；

（3）如果桌面高出地面0.8m，線斷后小球飛出去落在離桌面的水平距離為多少的地方？0

【試題答案】

  1. B     2. BCD           3. C        4. AC             5. C        6. C

  7.

  8. （1）            （2）        0N

  9. （1），  （2），。

  10. （1）（2）（3），

  11. （1）45N    （2）   （3）2m