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九 章 算 術(shù)
卷第一 方田 〔一〕今有田廣十五步，從十六步。問(wèn)為田幾何？ 荅曰：一畝。 〔二〕又有田廣十二步，從十四步。問(wèn)為田幾何？ 荅曰：一百六十八步。 方田術(shù)曰：廣從步數(shù)相乘得積步。 以畝法二百四十步除之，即畝數(shù)。百畝為一頃。 〔三〕今有田廣一里，從一里。問(wèn)為田幾何？ 荅曰：三頃七十五畝。 〔四〕又有田廣二里，從三里。問(wèn)為田幾何？ 荅曰：二十二頃五十畝。 里田術(shù)曰：廣從里數(shù)相乘得積里。以三百七十五乘之，即畝數(shù)。 〔五〕今有十八分之十二。問(wèn)約之得幾何？ 荅曰：三分之二。 〔六〕又有九十一分之四十九。問(wèn)約之得幾何？ 荅曰：十三分之七。 約分術(shù)曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也。以等數(shù)約之。 〔七〕今有三分之一，五分之二。問(wèn)合之得幾何？ 荅曰：十五分之十一。 〔八〕又有三分之二，七分之四，九分之五。問(wèn)合之得幾何？ 荅曰：得一、六十三分之五十。 〔九〕又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。問(wèn)合之得幾何？ 荅曰：得二、六十分之四十三。 合分術(shù)曰：母互乘子，并以為實(shí)，母相乘為法，實(shí)如法而一。不滿法者，以法命之。其母同者，直相從之。 〔一０〕今有九分之八，減其五分之一。問(wèn)余幾何？ 荅曰：四十五分之三十一。 〔一一〕又有四分之三，減其三分之一。問(wèn)余幾何？ 荅曰：十二分之五。 減分術(shù)曰：母互乘子，以少減多，余為實(shí)，母相乘為法，實(shí)如法而一。 〔一二〕今有八分之五，二十五分之十六。問(wèn)孰多？多幾何？ 荅曰：二十五分之十六多，多二百分之三。 〔一三〕又有九分之八，七分之六。問(wèn)孰多？多幾何？ 荅曰：九分之八多，多六十三分之二。 〔一四〕又有二十一分之八，五十分之十七。問(wèn)孰多？多幾何？ 荅曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。 課分術(shù)曰：母互乘子，以少減多，余為實(shí)，母相乘為法，實(shí)如法而一，即相多也。 〔一五〕今有三分之一，三分之二，四分之三。問(wèn)減多益少，各幾何而平？ 荅曰：減四分之三者二，三分之二者一，并以益三分之一，而各平于十二分之七。 〔一六〕又有二分之一，三分之二，四分之三。問(wèn)減多益少，各幾何而平？ 荅曰：減三分之二者一，四分之三者四，并以益二分之一，而各平于三十六分之二十三。 平分術(shù)曰：母互乘子，副并為平實(shí)，母相乘為法。以列數(shù)乘未并者各自為列實(shí)。亦以列數(shù)乘法，以平實(shí)減列實(shí)，余，約之為所減。并所減以益于少，以法命平實(shí)，各得其平。 〔一七〕今有七人，分八錢三分錢之一。問(wèn)人得幾何？ 荅曰：人得一錢、二十一分錢之四。 〔一八〕又有三人，三分人之一，分六錢三分錢之一，四分錢之三。問(wèn)人得幾何？ 荅曰：人得二錢、八分錢之一。 經(jīng)分術(shù)曰：以人數(shù)為法，錢數(shù)為實(shí)，實(shí)如法而一。有分者通之，重有分者同而通之。 〔一九〕今有田廣七分步之四，從五分步之三。問(wèn)為田幾何？ 荅曰：三十五分步之十二。 〔二０〕又有田廣九分步之七，從十一分步之九。問(wèn)為田幾何？ 荅曰：十一分步之七。 〔二一〕又有田廣五分步之四，從九分步之五，問(wèn)為田幾何？ 荅曰：九分步之四。 乘分術(shù)曰：母相乘為法，子相乘為實(shí)，實(shí)如法而一。 〔二二〕今有田廣三步、三分步之一，從五步、五分步之二。問(wèn)為田幾何？
荅曰：十八步。 〔二三〕又有田廣七步、四分步之三，從十五步、九分步之五。問(wèn)為田幾何？ 荅曰：一百二十步、九分步之五。 〔二四〕又有田廣十八步、七分步之五，從二十三步、十一分步之六。問(wèn)為田幾何？ 荅曰：一畝二百步、十一分步之七。 大廣田術(shù)曰：分母各乘其全，分子從之，相乘為實(shí)。分母相乘為法。實(shí)如法而一。 〔二五〕今有圭田廣十二步，正從二十一步。問(wèn)為田幾何？ 荅曰：一百二十六步。 〔二六〕又有圭田廣五步、二分步之一，從八步、三分步之二。問(wèn)為田幾何？ 荅曰：二十三步、六分步之五。 術(shù)曰：半廣以乘正從。 〔二七〕今有邪田，一頭廣三十步，一頭廣四十二步，正從六十四步。問(wèn)為田幾何？ 荅曰：九畝一百四十四步。 〔二八〕又有邪田，正廣六十五步，一畔從一百步，一畔從七十二步。問(wèn)為田幾何？ 荅曰：二十三畝七十步。 術(shù)曰：并兩邪而半之，以乘正從若廣。又可半正從若廣，以乘并，畝法而一。 〔二九〕今有箕田，舌廣二十步，踵廣五步，正從三十步。問(wèn)為田幾何？ 荅曰：一畝一百三十五步。 〔三０〕又有箕田，舌廣一百一十七步，踵廣五十步，正從一百三十五步。問(wèn)為田幾何？ 荅曰：四十六畝二百三十二步半。 術(shù)曰：并踵舌而半之，以乘正從。畝法而一。 〔三一〕今有圓田，周三十步，徑十步。問(wèn)為田幾何？ 荅曰：七十五步。 〔三二〕又有圓田，周一百八十一步，徑六十步、三分步之一。問(wèn)為田幾何？ 荅曰：十一畝九十步、十二分步之一。 術(shù)曰：半周半徑相乘得積步。 又術(shù)曰：周徑相乘，四而一。 又術(shù)曰：徑自相乘，三之，四而一。 又術(shù)曰：周自相乘，十二而一。 〔三三〕今有宛田，下周三十步，徑十六步。問(wèn)為田幾何？ 荅曰：一百二十步。 〔三四〕又有宛田，下周九十九步，徑五十一步。問(wèn)為田幾何？ 荅曰：五畝六十二步、四分步之一。 術(shù)曰：以徑乘周，四而一。 〔三五〕今有弧田，弦三十步，矢十五步。問(wèn)為田幾何？ 荅曰：一畝九十七步半。 〔三六〕又有弧田，弦七十八步、二分步之一，矢十三步、九分步之七。問(wèn)為田幾何？ 荅曰：二畝一百五十五步、八十一分步之五十六。 術(shù)曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。 〔三七〕今有環(huán)田，中周九十二步，外周一百二十二步，徑五步。問(wèn)為田幾何？ 荅曰：二畝五十五步。 〔三八〕又有環(huán)田，中周六十二步、四分步之三，外周一百一十三步、二分步之一，徑十二步、三分步之二。問(wèn)為田幾何？ 荅曰：四畝一百五十六步、四分步之一。 術(shù)曰：并中外周而半之，以徑乘之為積步。 密率術(shù)曰：置中外周步數(shù)，分母、子各居其下。母互乘子，通全步，內(nèi)分子。以中周減外周，余半之，以益中周。徑亦通分內(nèi)子，以乘周為實(shí)。分母相乘為法，除之為積步，余積步之分。以畝法除之，即畝數(shù)也。 卷第二 粟米 粟米之法： 粟率五十 糲米三十 粺米二十七 鑿米二十四 御米二十一 小●十三半 大●五十四 糲飯七十五 粺飯五十四 鑿飯四十八 御飯四十二 菽、荅、麻、麥各四十五 稻六十 豉六十三 飧九十 熟菽一百三半 櫱一百七十五 今有術(shù)曰：以所有數(shù)乘所求率為實(shí)，以所有率為法，實(shí)如法而一。 〔一〕今有粟一斗，欲為糲米。問(wèn)得幾何？ 荅曰：為糲米六升。 術(shù)曰：以粟求糲米，三之，五而一。 〔二〕今有粟二斗一升，欲為粺米。問(wèn)得幾何？ 荅曰：為粺米一斗一升、五十分升之十七。 術(shù)曰：以粟求粺米，二十七之，五十而一。 〔三〕今有粟四斗五升，欲為鑿米。問(wèn)得幾何？ 荅曰：為鑿米二斗一升、五分升之三。 術(shù)曰：以粟求鑿米，十二之，二十五而一。 〔四〕今有粟七斗九升，欲為御米。問(wèn)得幾何？ 荅曰：為御米三斗三升、五十分升之九。 術(shù)曰：以粟求御米，二十一之，五十而一。 〔五〕今有粟一斗，欲為小●。問(wèn)得幾何？ 荅曰：為小●二升、一十分升之七。 術(shù)曰：以粟求小●，二十七之，百而一。 〔六〕今有粟九斗八升，欲為大●。問(wèn)得幾何？ 荅曰：為大●一十斗五升、二十五分升之二十一。 術(shù)曰：以粟求大●，二十七之，二十五而一。 〔七〕今有粟二斗三升，欲為糲飯。問(wèn)得幾何？ 荅曰：為糲飯三斗四升半。 術(shù)曰：以粟求糲飯，三之，二而一。 〔八〕今有粟三斗六升，欲為粺飯。問(wèn)得幾何？ 荅曰：為粺飯三斗八升、二十五分升之二十二。 術(shù)曰：以粟求粺飯，二十七之，二十五而一。 〔九〕今有粟八斗六升，欲為鑿飯。問(wèn)得幾何？ 荅曰：為鑿飯八斗二升、二十五分升之一十四。 術(shù)曰：以粟求鑿飯，二十四之，二十五而一。 〔一０〕今有粟九斗八升，欲為御飯。問(wèn)得幾何？ 荅曰：為御飯八斗二升、二十五分升之八。 術(shù)曰：以粟求御飯，二十一之，二十五而一。 〔一一〕今有粟三斗少半升，欲為菽。問(wèn)得幾何？ 荅曰：為菽二斗七升、一十分升之三。 〔一二〕今有粟四斗一升、太半升，欲為荅。問(wèn)得幾何？ 荅曰：為荅三斗七升半。 〔一三〕今有粟五斗、太半升，欲為麻。問(wèn)得幾何？ 荅曰：為麻四斗五升、五分升之三。 〔一四〕今有粟一十斗八升、五分升之二，欲為麥。問(wèn)得幾何？ 荅曰：為麥九斗七升、二十五分升之一十四。 術(shù)曰：以粟求菽、荅、麻、麥，皆九之，十而一。 〔一五〕今有粟七斗五升、七分升之四，欲為稻。問(wèn)得幾何？ 荅曰：為稻九斗、三十五分升之二十四。 術(shù)曰：以粟求稻，六之，五而一。 〔一六〕今有粟七斗八升，欲為豉。問(wèn)得幾何？ 荅曰：為豉九斗八升、二十五分升之七。 術(shù)曰：以粟求豉，六十三之，五十而一。 〔一七〕今有粟五斗五升，欲為飧。問(wèn)得幾何？ 荅曰：為飧九斗九升。 術(shù)曰：以粟求飧，九之，五而一。 〔一八〕今有粟四斗，欲為熟菽。問(wèn)得幾何？ 荅曰：為熟菽八斗二升、五分升之四。 術(shù)曰：以粟求熟菽，二百七之，百而一。 〔一九〕今有粟二斗，欲為櫱。問(wèn)得幾何？ 荅曰：為櫱七斗。
其七斤一十兩九銖，鈞二千一十二錢。 其一石二鈞二十斤八兩二十銖，鈞二千一十三錢 〔四二〕今有出錢一萬(wàn)三千九百七十，買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤斤率之，問(wèn)各幾何？
荅曰： 其一石二鈞七斤十兩四銖，斤六十七錢。 其二十斤九兩一銖，斤六十八錢。 〔四三〕今有出錢一萬(wàn)三千九百七十，買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤兩率之，問(wèn)各幾何？ 荅曰： 其一石一鈞一十七斤一十四兩一銖，兩四錢。 其一鈞一十斤五兩四銖，兩五錢。 其率 術(shù)曰：各置所買石、鈞、斤、兩以為法，以所率乘錢數(shù)為實(shí)，實(shí)如法而一。不滿法者反以實(shí)減法，法賤實(shí)貴。 〔四四〕今有出錢一萬(wàn)三千九百七十，買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤銖率之，問(wèn)各幾何？ 荅曰： 其一鈞二十斤六兩十一銖，五銖一錢。 其一石一鈞七斤一十二兩一十八銖，六銖一錢。 〔四五〕今有出錢六百一十，買羽二千一百翭。欲其貴賤率之，問(wèn)各幾何？ 荅曰： 其一千一百四十翭，三翭一錢。 其九百六十翭，四翭一錢。 〔四六〕今有出錢九百八十，買矢簳五千八百二十枚。欲其貴賤率之，問(wèn)各幾何？ 荅曰： 其三百枚，五枚一錢。 其五千五百二十枚，六枚一錢。 反其率術(shù)曰：以錢數(shù)為法，所率為實(shí)，實(shí)如法而一。不滿法者反以實(shí)減法，法少，實(shí)多。二物各以所得多少之?dāng)?shù)乘法實(shí)，即物數(shù)。 卷第三
衰分 衰分術(shù)曰：各置列衰，副并為法，以所分乘未并者各自為實(shí)，實(shí)如法而一。不滿法者，以法命之。 〔一〕今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共獵得五鹿。欲以爵次分之，問(wèn)各得幾何？ 荅曰： 大夫得一鹿、三分鹿之二。 不更得一鹿、三分鹿之一。 簪裹得一鹿。 上造得三分鹿之二。 公士得三分鹿之一。 術(shù)曰：列置爵數(shù)，各自為衰，副并為法。以五鹿乘未并者，各自為實(shí)。實(shí)如法得一鹿。 〔二〕今有牛、馬、羊食人苗。苗主責(zé)之粟五斗。羊主曰：「我羊食半馬。」馬主曰：「我馬食半牛。」今欲衰償之，問(wèn)各出幾何？ 荅曰： 牛主出二斗八升、七分升之四。 馬主出一斗四升、七分升之二。 羊主出七升、七分升之一。 術(shù)曰：置牛四、馬二、羊一，各自為列衰，副并為法。以五斗乘未并者各自為實(shí)。實(shí)如法得一斗。 〔三〕今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關(guān)，關(guān)稅百錢。欲以錢數(shù)多少衰出之，問(wèn)各幾何？ 荅曰： 甲出五十一錢、一百九分錢之四十一。 乙出三十二錢、一百九分錢之一十二。 丙出一十六錢、一百九分錢之五十六。 術(shù)曰：各置錢數(shù)為列衰，副并為法，以百錢乘未并者，各自為實(shí)，實(shí)如法得一錢。 〔四〕今有女子善織，日自倍，五日織五尺。問(wèn)日織幾何？ 荅曰： 初日織一寸、三十一分寸之十九。 次日織三寸、三十一分寸之七。 次日織六寸、三十一分寸之十四。 次日織一尺二寸、三十一分寸之二十八。 次日織二尺五寸、三十一分寸之二十五。 術(shù)曰：置一、二、四、八、十六為列衰，副并為法，以五尺乘未并者，各自為實(shí)，實(shí)如法得一尺。 〔五〕今有北鄉(xiāng)算八千七百五十八，西鄉(xiāng)算七千二百三十六，南鄉(xiāng)算八千三百五十六，凡三鄉(xiāng)，發(fā)傜三百七十八人。欲以算數(shù)多少衰出之，問(wèn)各幾何？ 荅曰： 北鄉(xiāng)遣一百三十五人、一萬(wàn)二千一百七十五分人之一萬(wàn)一千六百三十七。 西鄉(xiāng)遣一百一十二人、一萬(wàn)二千一百七十五分人之四千四。 南鄉(xiāng)遣一百二十九人、一萬(wàn)二千一百七十五分人之八千七百九。 術(shù)曰：各置算數(shù)為列衰，副并為法，以所發(fā)傜人數(shù)乘未并者，各自為實(shí)，實(shí)如法得一人。 〔六〕今有稟粟，大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，一十五斗。今有大夫一人后來(lái)，亦當(dāng)稟五斗。倉(cāng)無(wú)粟，欲以衰出之，問(wèn)各幾何？ 荅曰： 大夫出一斗、四分斗之一。 荅曰： 大夫出八錢、一百三十七分錢之一百四。 不更出一十錢、一百三十七分錢之一百三十。 簪褭出一十四錢、一百三十七分錢之八十二。 上造出二十一錢、一百三十七分錢之一百二十三。 公士出四十三錢、一百三十七分錢之一百九。 術(shù)曰：置爵數(shù)各自為衰，而返衰之，副并為法。以百錢乘未并者各自為實(shí)。實(shí)如法得一錢。 〔七〕今有稟粟五斛，五人分之，欲令三人得三，二人得二。問(wèn)各幾何？ 荅曰： 三人，人得一斛一斗五升、十三分升之五。 二人，人得七斗六升、十三分升之十二。 術(shù)曰：置三人，人三；二人，人二，為列衰。副并為法。以五斛乘未并者，各自為實(shí)。實(shí)如法得一斛。 返衰術(shù)曰：列置衰而令相乘，動(dòng)者為不動(dòng)者衰。 〔八〕今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百錢。欲令高爵出少，以次漸多，問(wèn)各幾何？ 其七斤一十兩九銖，鈞二千一十二錢。 其一石二鈞二十斤八兩二十銖，鈞二千一十三錢。 〔九〕今有甲持粟三升，乙持糲米三升，丙持糲飯三升。欲令合而分之，問(wèn)各幾何？ 荅曰： 甲二升、一十分升之七。 乙四升、一十分升之五。 丙一升、一十分升之八。 術(shù)曰：以粟率五十、糲米率三十、糲飯率七十五為衰、而返衰之，副并為法。以九升乘未并者各自為實(shí)。實(shí)如法得一升。 〔一０〕今有絲一斤，價(jià)直二百四十。今有錢一千三百二十八，問(wèn)得絲幾何？ 荅曰：五斤八兩一十二銖、三分銖之四。 術(shù)曰：以一斤價(jià)數(shù)為法，以一斤乘今有錢數(shù)為實(shí)，實(shí)如法得絲數(shù)。 〔一一〕今有絲一斤價(jià)直三百四十三。今有絲七兩一十二銖，問(wèn)得錢幾何？ 荅曰：一百六十一錢、三十二分錢之二十三。 術(shù)曰：以一斤銖數(shù)為法，以一斤價(jià)數(shù)，乘七兩一十二銖為實(shí)。實(shí)如法得錢數(shù)。 〔一二〕今有縑一丈價(jià)直一百二十六。今有縑一匹九尺五寸，問(wèn)得錢幾何？ 荅曰：六百三十三錢、五分錢之三。 術(shù)曰：以一丈寸數(shù)為法，以價(jià)錢數(shù)乘今有縑寸數(shù)為實(shí)，實(shí)如法得錢數(shù)。 〔一三〕今有布一匹，價(jià)直一百二十三。今有布二丈七尺，問(wèn)得錢幾何？ 荅曰：八十四錢、 分錢之三。 術(shù)曰：以一匹尺數(shù)為法，今有布尺數(shù)乘價(jià)錢為實(shí)，實(shí)如法得錢數(shù)。 〔一四〕今有素一匹一丈，價(jià)直六百二十五。今有錢五百，問(wèn)得素幾何？
荅曰： 術(shù)曰：以價(jià)直為法，以一匹一丈尺數(shù)乘今有錢數(shù)為實(shí)。實(shí)如法得素?cái)?shù)。 〔一五〕今有與人絲一十四斤，約得縑一十斤。今與人絲四十五斤八兩，問(wèn)得縑幾何？ 荅曰：三十二斤八兩。 術(shù)曰：以一十四斤兩數(shù)為法，以一十斤乘今有絲兩數(shù)為實(shí)，實(shí)如法得縑數(shù)。 〔一六〕今有絲一斤，耗七兩。今有絲二十三斤五兩，問(wèn)耗幾何？ 荅曰：一百六十三兩四銖半。 術(shù)曰：以一斤展十六兩為法，以七兩乘今有絲兩數(shù)為實(shí)，實(shí)如法得耗數(shù)。 〔一七〕今有生絲三十斤，干之，耗三斤十二兩。今有干絲一十二斤，問(wèn)生絲幾何？ 荅曰：一十三斤一十一兩十銖、七分銖之二。 術(shù)曰：置生絲兩數(shù)，除耗數(shù)，余，以為法。三十斤乘干絲兩數(shù)為實(shí)。實(shí)如法得生絲數(shù)。 〔一八〕今有田一畝，收粟六升、太半升。今有田一頃二十六畝一百五十九步，問(wèn)收粟幾何？ 荅曰：八斛四斗四升、一十二分升之五。 術(shù)曰：以畝二百四十步為法，以六升、太半升乘今有田積步為實(shí)，實(shí)如法得粟數(shù)。 〔一九〕今有取保一歲，價(jià)錢二千五百。今先取一千二百，問(wèn)當(dāng)作日幾何？ 荅曰：一百六十九日、二十五分日之二十三。 術(shù)曰：以價(jià)錢為法，以一歲三百五十四日乘先取錢數(shù)為實(shí)，實(shí)如法得日數(shù)。 〔二０〕今有貸人千錢，月息三十。今有貸人七百五十錢，九日歸之，問(wèn)息幾何？ 荅曰：六錢、四分錢之三。 術(shù)曰：以月三十日，乘千錢為法。以息三十乘今所貸錢數(shù)，又以九日乘之，為實(shí)。實(shí)如法得一錢。 不更出一斗。 簪褭出四分斗之三。 上造出四分斗之二。 公士出四分斗之一。 術(shù)曰：各置所稟粟斛斗數(shù)，爵次均之，以為列衰，副并而加后來(lái)大夫亦五斗，得二十以為法。以五斗乘未并者各自為實(shí)。實(shí)如法得一斗。 卷第四 荅曰：八十一步、七千三百八十一分步之六千九百三十九。
術(shù)曰：下有一十分，以一為二千五百二十，半為一千二百六十，三分之一為八百四十，四分之一為六百三十，五分之一為五百四，六分之一為四百二十，七分之一為三百六十，八分之一為三百一十五，九分之一為二百八十，十分之一為二百五十二，并之得七千三百八十一，以為法。置田二百四十步，亦以一為二千五百二十乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。 〔一０〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一畝，問(wèn)從幾何？ 荅曰：七十九步、八萬(wàn)三千七百一十一分步之三萬(wàn)九千六百三十一。 術(shù)曰：下有一十一分，以一為二萬(wàn)七千七百二十，半為一萬(wàn)三千八百六十，三分之一為九千二百四十，四分之一為六千九百三十，五分之一為五千五百四十四，六分之一為四千六百二十，七分之一為三千九百六十，八分之一為三千四百六十五，九分之一為三千八十，一十分之一為二千七百七十二，一十一分之一為二千五百二十，并之得八萬(wàn)三千七百一十一，以為法。置田二百四十步，亦以一為二萬(wàn)七千七百二十乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。 〔一一〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一畝，問(wèn)從幾何？ 荅曰：七十七步、八萬(wàn)六千二十一分步之二萬(wàn)九千一百八十三。 術(shù)曰：下有一十二分，以一為八萬(wàn)三千一百六十，半為四萬(wàn)一千五百八十，三分之一為二萬(wàn)七千七百二十，四分之一為二萬(wàn)七百九十，五分之一為一萬(wàn)六千六百三十二，六分之一為一萬(wàn)三千八百六十，七分之一為一萬(wàn)一千八百八十，八分之一為一萬(wàn)三百九十五，九分之一為九千二百四十，一十分之一為八千三百一十六，十一分之一為七千五百六十，十二分之一為六千九百三十，并之得二十五萬(wàn)八千六十三，以為法。置田二百四十步，亦以一為八萬(wàn)三千一百六十乘之，為實(shí)。實(shí)如法得從步。 〔一二〕今有積五萬(wàn)五千二百二十五步。問(wèn)為方幾何？ 荅曰：二百三十五步。 〔一三〕又有積二萬(wàn)五千二百八十一步。問(wèn)為方幾何？ 荅曰：一百五十九步。 〔一四〕又有積七萬(wàn)一千八百二十四步。問(wèn)為方幾何？ 荅曰：二百六十八步。 〔一五〕又有積五十六萬(wàn)四千七百五十二步、四分步之一。問(wèn)為方幾何？ 荅曰：七百五十一步半。 〔一六〕又有積三十九億七千二百一十五萬(wàn)六百二十五步。問(wèn)為方幾何？ 荅曰：六萬(wàn)三千二十五步。 開(kāi)方術(shù)曰：置積為實(shí)。借一算步之，超一等。議所得，以一乘所借一算為法，而以除。除已，倍法為定法。其復(fù)除。折法而下。復(fù)置借算步之如初，以復(fù)議一乘之，所得副，以加定法，以除。以所得副從定法。復(fù)除折下如前。若開(kāi)之不盡者為不可開(kāi)，當(dāng)以面命之。若實(shí)有分者，通分內(nèi)子為定實(shí)。乃開(kāi)之，訖，開(kāi)其母報(bào)除。若母不可開(kāi)者，又以母乘定實(shí)，乃開(kāi)之，訖，令如母而一。 〔一七〕今有積一千五百一十八步、四分步之三。問(wèn)為圓周幾何？ 荅曰：一百三十五步。 〔一八〕今有積三百步。問(wèn)為圓周幾何？ 荅曰：六十步。 開(kāi)圓術(shù)曰：置積步數(shù)，以十二乘之，以開(kāi)方除之，即得周。 〔一九〕今有積一百八十六萬(wàn)八百六十七尺。問(wèn)為立方幾何？ 荅曰：一百二十三尺。 〔二０〕今有積一千九百五十三尺、八分尺之一。問(wèn)為立方幾何？ 荅曰：一十二尺半。 〔二一〕今有積六萬(wàn)三千四百一尺、五百一十二分尺之四百四十七。問(wèn)為立方幾何？ 荅曰：三十九尺、八分尺之七。 〔二二〕又有積一百九十三萬(wàn)七千五百四十一尺、二十七分尺之一十七。問(wèn)為立方幾何？ 荅曰：一百二十四尺、太半尺。 開(kāi)立方術(shù)曰：置積為實(shí)。借一算步之，超二等。議所得，以再乘所借一算為法，而除之。除已，三之為定法。復(fù)除，折而下。以三乘所得數(shù)置中行。復(fù)借一算置下行。步之，中超一，下超二等。復(fù)置議，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定法除。除已，倍下、并中從定法。復(fù)除，折下如前。開(kāi)之不盡者，亦為不可開(kāi)。若積有分者，通分內(nèi)子為定實(shí)。定實(shí)乃開(kāi)之，訖，開(kāi)其母以報(bào)除。若母不可開(kāi)者，又以母再乘定實(shí)，乃開(kāi)之。訖，令如母而一。 〔二三〕今有積四千五百尺。問(wèn)為立圓徑幾何？ 荅曰：二十尺。 〔二四〕又有積一萬(wàn)六千四百四十八億六千六百四十三萬(wàn)七千五百尺。問(wèn)為立圓徑幾何？ 荅曰：一萬(wàn)四千三百尺。 開(kāi)立圓術(shù)曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開(kāi)立方除之，即丸徑。 卷第五 商功 〔一〕今有穿地積一萬(wàn)尺。問(wèn)為堅(jiān)、壤各幾何？ 荅曰： 為堅(jiān)七千五百尺。 為壤一萬(wàn)二千五百尺。 術(shù)曰：穿地四，為壤五，為堅(jiān)三，為墟四。以穿地求壤，五之；求堅(jiān)，三之，皆四而一。以壤求穿，四之；求堅(jiān)，三之，皆五而一。以堅(jiān)求穿，四之；求壤，五之，皆三而一。 城、垣、堤、溝、、渠，皆同術(shù)。 術(shù)曰：并上下廣而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即積尺。 〔二〕今有城下廣四丈，上廣二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。問(wèn)積幾何？ 荅曰：一百八十九萬(wàn)七千五百尺。 〔三〕今有垣下廣三尺，上廣二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸。問(wèn)積幾何？ 荅曰：六千七百七十四尺。 〔四〕今有堤下廣二丈，上廣八尺，高四尺，袤一十二丈七尺。問(wèn)積幾何？ 荅曰：七千一百一十二尺。 冬程人功四百四十四尺。問(wèn)用徒幾何？ 荅曰：一十六人、一百一十一分人之二。 術(shù)曰：以積尺為實(shí)，程功尺數(shù)為法，實(shí)如法而一，即用徒人數(shù)。 〔五〕今有溝上廣一丈五尺，下廣一丈，深五尺，袤七丈。問(wèn)積幾何？ 荅曰：四千三百七十五尺。 春程人功七百六十六尺，并出土功五分之一，定功六百一十二尺、五分尺之四。問(wèn)用徒幾何？ 荅曰：七人、三千六十四分人之四百二十七。 術(shù)曰：置本人功，去其五分之一，余為法。以溝積尺為實(shí)。實(shí)如法而一，得用徒人數(shù)。 〔六〕今有塹上廣一丈六尺三寸，下廣一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸。問(wèn)積幾何？ 荅曰：一萬(wàn)九百四十三尺八寸。 夏程人功八百七十一尺。并出土功五分之一，沙礫水石之功作太半，定功二百三十二尺、一十五分尺之四。問(wèn)用徒幾何？ 荅曰：四十七人、三千四百八十四分人之四百九。 術(shù)曰：置本人功，去其出土功五分之一，又去沙礫水石之功太半，余為法。以塹積尺為實(shí)。實(shí)如法而一，即用徒人數(shù)。 〔七〕今有穿渠上廣一丈八尺，下廣三尺六寸，深一丈八尺，袤五萬(wàn)一千八百二十四尺。問(wèn)積幾何？ 荅曰：一千七萬(wàn)四千五百八十五尺六寸。 秋程人功三百尺，問(wèn)用徒幾何？ 荅曰：三萬(wàn)三千五百八十二人功。內(nèi)少一十四尺四寸。 一千人先到，問(wèn)當(dāng)受袤幾何？ 荅曰：一百五十四丈三尺二寸、八十一分寸之八。 術(shù)曰：以一人功尺數(shù)，乘先到人數(shù)為實(shí)。并渠上下廣而半之，以深乘之為法。實(shí)如法得袤尺。 〔八〕今有方堡壔方一丈六尺，高一丈五尺。問(wèn)積幾何？ 荅曰：三千八百四十尺。 術(shù)曰：方自乘，以高乘之，即積尺。 〔九〕今有圓堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺。問(wèn)積幾何？ 荅曰：二千一百一十二尺。 術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一。 〔一０〕今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈。問(wèn)積幾何？ 荅曰：一十萬(wàn)一千六百六十六尺、太半尺。 術(shù)曰：上下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一。 〔一一〕今有圓亭，下周三丈，上周二丈，高一丈。問(wèn)積幾何？ 荅曰：五百二十七尺、九分尺之七。 術(shù)曰：上、下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一。 〔一二〕今有方錐下方二丈七尺，高二丈九尺。問(wèn)積幾何？ 荅曰：七千四十七尺。 術(shù)曰：下方自乘，以高乘之，三而一。 〔一三〕今有圓錐下周三丈五尺，高五丈一尺。問(wèn)積幾何？ 荅曰：一千七百三十五尺、一十二分尺之五。 術(shù)曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。 〔一四〕今有塹堵下廣二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺。問(wèn)積幾何？ 荅曰：四萬(wàn)六千五百尺。 術(shù)曰：廣袤相乘，以高乘之，二而一。 〔一五〕今有陽(yáng)馬，廣五尺，袤七尺，高八尺。問(wèn)積幾何？ 荅曰：九十三尺、少半尺。 術(shù)曰：廣袤相乘，以高乘之，三而一。 〔一六〕今有鱉臑下廣五尺，無(wú)袤，上袤四尺，無(wú)廣，高七尺。問(wèn)積幾何？ 荅曰：二十三尺、少半尺。 術(shù)曰：廣袤相乘，以高乘之，六而一。 〔一七〕今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無(wú)深，袤七尺。問(wèn)積幾何？ 荅曰：八十四尺。 術(shù)曰：并三廣，以深乘之，又以袤乘之，六而一。 〔一八〕今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無(wú)廣，高一丈。問(wèn)積幾何？ 荅曰：五千尺。 術(shù)曰：倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一。 芻童、曲池、盤池、冥谷，皆同術(shù)。 術(shù)曰：倍上袤，下袤從之，亦倍下袤，上袤從之，各以其廣乘之，并，以高若深乘之，皆六而一。其曲池者，并上中、外周而半之，以為上袤；亦并下中、外周而半之，以為下袤。 〔一九〕今有芻童，下廣二丈，袤三丈，上廣三丈，袤四丈，高三丈。問(wèn)積幾何？ 荅曰：二萬(wàn)六千五百尺。 〔二０〕今有曲池，上中周二丈，外周四丈，廣一丈，下中周一丈四尺，外周二丈四尺，廣五尺，深一丈。問(wèn)積幾何？ 荅曰：一千八百八十三尺三寸、少半寸。 〔二一〕今有盤池，上廣六丈，袤八丈，下廣四丈，袤六丈，深二丈。問(wèn)積幾何？ 荅曰：七萬(wàn)六百六十六尺、太半尺。 負(fù)土往來(lái)七十步，其二十步上下棚除。棚除二當(dāng)平道五，踟躕之間十加一，載輸之間三十步，定一返一百四十步。土籠積一尺六寸，秋程人功行五十九里半。問(wèn)人到、積尺、用徒各幾何？ 荅曰： 人到二百四尺。 用徒三百四十六人、一百五十三分人之六十二。 術(shù)曰：以一籠積尺乘程行步數(shù)為實(shí)。往來(lái)上下，棚除二當(dāng)平道五。置定往來(lái)步數(shù)，十加一，及載輸之間三十步以為法。除之，所得即一人所到尺。以所到約積尺，即用徒人數(shù)。 〔二二〕今有冥谷上廣二丈，袤七丈，下廣八尺，袤四丈，深六丈五尺。問(wèn)積幾何？ 荅曰：五萬(wàn)二千尺。 載土往來(lái)二百步，載輸之間一里，程行五十八里，六人共車，車載三十四尺七寸。問(wèn)人到積尺及用徒各幾何？ 荅曰： 人到二百一尺、五十分尺之十三。 用徒二百五十八人、一萬(wàn)六十三分人之三千七百四十六。 術(shù)曰：以一車積尺乘程行步數(shù)為實(shí)。置今往來(lái)步數(shù)，加載輸之間一里，以車六人乘之，為法。除之，所得即一人所到尺。以所到約積尺，即用徒人數(shù)。 〔二三〕今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈。問(wèn)積及為粟幾何？ 荅曰： 積八千尺。 為粟二千九百六十二斛、二十七分斛之二十六。 〔二四〕今有委菽依垣，下周三丈，高七尺。問(wèn)積及為菽各幾何？ 荅曰： 積三百五十尺。 為菽一百四十四斛、二百四十三分斛之八。 〔二五〕今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問(wèn)積及為米幾何？ 荅曰： 積三十五尺、九分尺之五。 為米二十一斛，七百二十九分斛之六百九十一。 委粟術(shù)曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。其依垣者，十八而一。其依垣內(nèi)角者，九而一。 程粟一斛，積二尺七寸。其米一斛，積一尺六寸、五分寸之一。其菽、荅、麻、麥一斛，皆二尺四寸、十分寸之三。 〔二六〕今有穿地，袤一丈六尺，深一丈，上廣六尺，為垣積五百七十六尺。問(wèn)穿地下廣幾何？ 荅曰：三尺、五分尺之三。 術(shù)曰：置垣積尺，四之為實(shí)。以深、袤相乘，又三之，為法。所得倍之，減上廣，余即下廣。 〔二七〕今有倉(cāng)廣三丈，袤四丈五尺，容粟一萬(wàn)斛。問(wèn)高幾何？ 荅曰：二丈。 術(shù)曰：置粟一萬(wàn)斛積尺為實(shí)。廣袤相乘為法。實(shí)如法而一，得高尺。 〔二八〕今有圓困，高一丈三尺三寸、少半寸，容米二千斛。問(wèn)周幾何？ 荅曰：五丈四尺。 術(shù)曰：置米積尺，以十二乘之，令高而一，所得，開(kāi)方除之，即周。 卷第六 均輸 〔一〕今有均輸粟：甲縣一萬(wàn)戶，行道八日；乙縣九千五百戶，行道十日；丙縣一萬(wàn)二千三百五十戶，行道十三日；丁縣一萬(wàn)二千二百戶，行道二十日，各到輸所。凡四縣賦，當(dāng)輸二十五萬(wàn)斛，用車一萬(wàn)乘。欲以道里遠(yuǎn)近，戶數(shù)多少，衰出之。問(wèn)粟、車各幾何？ 荅曰： 甲縣粟八萬(wàn)三千一百斛，車三千三百二十四乘。 乙縣粟六萬(wàn)三千一百七十五斛，車二千五百二十七乘。 丙縣粟六萬(wàn)三千一百七十五斛，車二千五百二十七乘。 丁縣粟四萬(wàn)五百五十斛，車一千六百二十二乘。 均輸術(shù)曰：令縣戶數(shù)，各如其本行道日數(shù)而一，以為衰。甲衰一百二十五，乙、丙衰各九十五，丁衰六十一，副并為法。以賦粟、車數(shù)乘未并者，各自為實(shí)。實(shí)如法得一車。有分者，上下輩之。以二十五斛乘車數(shù)，即粟數(shù)。 〔二〕今有均輸卒：甲縣一千二百人，薄塞；乙縣一千五百五十人，行道一日；丙縣一千二百八十人，行道二日；丁縣九百九十人，行道三日；戊縣一千七百五十人，行道五日。凡五縣，賦輸卒一月一千二百人。欲以遠(yuǎn)近、戶率，多少衰出之。問(wèn)縣各幾何？ 荅曰： 甲縣二百二十九人。 乙縣二百八十六人。 丙縣二百二十八人。 丁縣一百七十一人。 戊縣二百八十六人。 術(shù)曰：令縣卒，各如其居所及行道日數(shù)而一，以為衰。甲衰四，乙衰五，丙衰四，丁衰三，戊衰五，副并為法。以人數(shù)乘未并者各自為實(shí)。實(shí)如法而一。有分者，上下輩之。 〔三〕今有均賦粟：甲縣二萬(wàn)五百二十戶，粟一斛二十錢，自輸其縣；乙縣一萬(wàn)二千三百一十二戶，粟一斛一十錢，至輸所二百里；丙縣七千一百八十二戶，粟一斛一十二錢，至輸所一百五十里；丁縣一萬(wàn)三千三百三十八戶，粟一斛一十七錢，至輸所二百五十里；戊縣五千一百三十戶，粟一斛一十三錢，至輸所一百五十里。凡五縣賦，輸粟一萬(wàn)斛。一車載二十五斛，與僦一里一錢。欲以縣戶輸粟，令費(fèi)勞等。問(wèn)縣各粟幾何？ 荅曰： 甲縣三千五百七十一斛、二千八百七十三分斛之五百一十七。 乙縣二千三百八十斛、二千八百七十三分斛之二千二百六十。 丙縣一千三百八十八斛、二千八百七十三分斛之二千二百七十六。 丁縣一千七百一十九斛、二千八百七十三分斛之一千三百一十三。 戊縣九百三十九斛、二千八百七十三分斛之二千二百五十三。 術(shù)曰：以一里僦價(jià)，乘至輸所里，以一車二十五斛除之，加一斛粟價(jià)，則致一斛之費(fèi)。各以約其戶數(shù)，為衰。甲衰一千二十六，乙衰六百八十四，丙衰三百九十九，丁衰四百九十四，戊衰二百七十，副并為法。所賦粟乘未并者，各自為實(shí)。實(shí)如法得一。 〔四〕今有均賦粟，甲縣四萬(wàn)二千算，粟一斛二十，自輸其縣；乙縣三萬(wàn)四千二百七十二算，粟一斛一十八，傭價(jià)一日一十錢，到輸所七十里；丙縣一萬(wàn)九千三百二十八算，粟一斛一十六，傭價(jià)一日五錢，到輸所一百四十里；丁縣一萬(wàn)七千七百算，粟一斛一十四，傭價(jià)一日五錢，到輸所一百七十五里；戊縣二萬(wàn)三千四十算，粟一斛一十二，傭價(jià)一日五錢，到輸所二百一十里；己縣一萬(wàn)九千一百三十六算，粟一斛一十，傭價(jià)一日五錢，到輸所二百八十里。凡六縣賦粟六萬(wàn)斛，皆輸甲縣。六人共車，車載二十五斛，重車日行五十里，空車日行七十里，載輸之間各一日。粟有貴賤，傭各別價(jià)，以算出錢，令費(fèi)勞等。問(wèn)縣各粟幾何？ 荅曰： 甲縣一萬(wàn)八千九百四十七斛、一百三十三分斛之四十九。 乙縣一萬(wàn)八百二十七斛、一百三十三分斛之九。 丙縣七千二百一十八斛、一百三十三分斛之六。 丁縣六千七百六十六斛、一百三十三分斛之一百二十二。
戊縣九千二十二斛、一百三十三分斛之七十四。 己縣七千二百一十八斛、一百三十三分斛之六。 術(shù)曰：以車程行空、重相乘為法，并空、重以乘道里，各自為實(shí)，實(shí)如法得一日。加載輸各一日，而以六人乘之，又以傭價(jià)乘之，以二十五斛除之，加一斛粟價(jià)，即致一斛之費(fèi)。各以約其算數(shù)為衰，副并為法，以所賦粟乘未并者，各自為實(shí)。實(shí)如法得一斛。 〔五〕今有粟七斗，三人分舂之，一人為糲米，一人為粺米，一人為鑿米，令米數(shù)等。問(wèn)取粟為米各幾何？ 荅曰： 糲米取粟二斗、一百二十一分斗之一十。 粺米取粟二斗、一百二十一分斗之三十八。 鑿米取粟二斗、一百二十一分斗之七十三。 為米各一斗、六百五分斗之一百五十一。 術(shù)曰：列置糲米三十，粺米二十七，鑿米二十四，而反衰之，副并為法。以七斗乘未并者，各自為取粟實(shí)。實(shí)如法得一斗。若求米等者，以本率各乘定所取粟為實(shí)，以粟率五十為法，實(shí)如法得一斗。 〔六〕今有人當(dāng)稟粟二斛。倉(cāng)無(wú)粟，欲與米一、菽二，以當(dāng)所稟粟。問(wèn)各幾何？ 荅曰： 米五斗一升、七分升之三。 菽一斛二升、七分升之六。 術(shù)曰：置米一、菽二求為粟之?dāng)?shù)。并之得三、九分之八，以為法。亦置米一、菽二，而以粟二斛乘之，各自為實(shí)。實(shí)如法得一斛。 〔七〕今有取傭負(fù)鹽二斛，行一百里，與錢四十。今負(fù)鹽一斛七斗三升、少半升，行八十里。問(wèn)與錢幾何？ 荅曰：二十七錢、十五分錢之十一。 術(shù)曰：置鹽二斛升數(shù)，以一百里乘之為法。以四十錢乘今負(fù)鹽升數(shù)，又以八十里乘之，為實(shí)。實(shí)如法得一錢。 〔八〕今有負(fù)籠重一石一十七斤，行七十六步，五十返。今負(fù)籠重一石，行百步，問(wèn)返幾何？ 荅曰：四十三返、六十分返之二十三。 術(shù)曰：以今所行步數(shù)乘今籠重斤數(shù)為法，故籠重斤數(shù)乘故步，又以返數(shù)乘之，為實(shí)。實(shí)如法得一返。 〔九〕今有程傳委輸，空車日行七十里，重車日行五十里。今載太倉(cāng)粟輸上林，五日三返。問(wèn)太倉(cāng)去上林幾何？ 荅曰：四十八里、十八分里之十一。 術(shù)曰：并空、重里數(shù)，以三返乘之，為法。令空、重相乘，又以五日乘之，為實(shí)。實(shí)如法得一里。 〔一０〕今有絡(luò)絲一斤為練絲一十二兩，練絲一斤為青絲一斤十二銖。今有青絲一斤，問(wèn)本絡(luò)絲幾何？ 荅曰：一斤四兩一十六銖、三十三分銖之十六。 術(shù)曰：以練絲十二兩乘青絲一斤一十二銖為法。以青絲一斤銖數(shù)乘練絲一斤兩數(shù)，又以絡(luò)絲一斤乘之，為實(shí)。實(shí)如法得一斤。 〔一一〕今有惡粟二十斗，舂之，得糲米九斗。今欲求粺米十斗，問(wèn)惡粟幾何？ 荅曰：二十四斗六升、八十一分升之七十四。 術(shù)曰：置糲米九斗，以九乘之，為法。亦置粺米十斗，以十乘之，又以惡粟二十斗乘之，為實(shí)。實(shí)如法得一斗。 〔一二〕今有善行者行一百步，不善行者行六十步。今不善行者先行一百步，善行者追之，問(wèn)幾何步及之？ 荅曰：二百五十步。 術(shù)曰：置善行者一百步，減不善行者六十步，余四十步，以為法。以善行者之一百步，乘不善行者先行一百步，為實(shí)。實(shí)如法得一步。 〔一三〕今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里。問(wèn)善行者幾何里及之？ 荅曰：三十三里、少半里。 術(shù)曰：置不善行者先行一十里，以善行者先至二十里增之，以為法。以不善行者先行一十里，乘善行者一百里，為實(shí)。實(shí)如法得一里。 〔一四〕今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止。問(wèn)犬不止，復(fù)行幾何步及之？ 荅曰：一百七步、七分步之一。 術(shù)曰：置兔先走一百步，以犬走不及三十步減之，余為法。以不及三十步乘犬追步數(shù)為實(shí)，實(shí)如法得一步。 〔一五〕今有人持金十二斤出關(guān)。關(guān)稅之，十分而取一。今關(guān)取金二斤，償錢五千。問(wèn)金一斤值錢幾何？ 荅曰：六千二百五十。 術(shù)曰：以一十乘二斤，以十二斤減之，余為法。以一十乘五千為實(shí)。實(shí)如法得一錢。 〔一六〕今有客馬日行三百里。客去忘持衣，日已三分之一，主人乃覺(jué)。持衣追及與之而還，至家視日四分之三。問(wèn)主人馬不休，日行幾何？ 荅曰：七百八十里。 術(shù)曰：置四分日之三，除三分日之一，半其余以為法。副置法，增三分日之一，以三百里乘之，為實(shí)。實(shí)如法，得主人馬一日行。 〔一七〕今有金棰，長(zhǎng)五尺。斬本一尺，重四斤。斬末一尺，重二斤。問(wèn)次一尺各重幾何？ 荅曰：末一尺，重二斤。 次一尺，重二斤八兩。 次一尺，重三斤。 次一尺，重三斤八兩。 次一尺，重四斤。 術(shù)曰：令末重減本重，余即差率也。又置本重，以四間乘之，為下第一衰。副置，以差率減之，每尺各自為衰。副置下第一衰以為法，以本重四斤遍乘列衰，各自為實(shí)。實(shí)如法得一斤。 〔一八〕今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等。問(wèn)各得幾何？ 荅曰： 甲得一錢、六分錢之二， 乙得一錢、六分錢之一， 丙得一錢， 丁得六分錢之五， 戊得六分錢之四。 術(shù)曰：置錢錐行衰，并上二人為九，并下三人為六。六少于九，三。以三均加焉，副并為法。以所分錢乘未并者各自為實(shí)。實(shí)如法得一錢。 〔一九〕今有竹九節(jié)，下三節(jié)容四升，上四節(jié)容三升。問(wèn)中間二節(jié)欲均容各多少？ 荅曰： 下初，一升、六十六分升之二十九， 次一升、六十六分升之二十二， 次一升、六十六分升之一十五， 次一升、六十六分升之八， 次一升、六十六分升之一， 次六十六分升之六十， 次六十六分升之五十三， 次六十六分升之四十六， 次六十六分升之三十九。 術(shù)曰：以下三節(jié)分四升為下率，以上四節(jié)分三升為上率。上下率以少減多，余為實(shí)。置四節(jié)、三節(jié)，各半之，以減九節(jié)，余為法。實(shí)如法得一升，即衰相去也。下率，一升、少半升者，下第二節(jié)容也。 〔二０〕今有鳧起南海，七日至北海；鴈起北海，九日至南海。今鳧鴈俱起。問(wèn)何日相逢？ 荅曰：三日、十六分日之十五。 術(shù)曰：并日數(shù)為法，日數(shù)相乘為實(shí)，實(shí)如法得一日。 〔二一〕今有甲發(fā)長(zhǎng)安，五日至齊；乙發(fā)齊，七日至長(zhǎng)安。今乙發(fā)已先二日，甲乃發(fā)長(zhǎng)安。問(wèn)幾何日相逢？ 荅曰：二日、十二分日之一。 術(shù)曰：并五日、七日以為法。以乙先發(fā)二日減七日，余，以乘甲日數(shù)為實(shí)。實(shí)如法得一日。 〔二二〕今有一人一日為牡瓦三十八枚，一人一日為牝瓦七十六枚。今令一人一日作瓦，牝、牡相半，問(wèn)成瓦幾何？ 荅曰：二十五枚、少半枚。 術(shù)曰：并牝、牡為法，牝牡相乘為實(shí)，實(shí)如法得一枚。 〔二三〕今有一人一日矯矢五十，一人一日羽矢三十，一人一日筈矢十五。今令一人一日自矯、羽、筈，問(wèn)成矢幾何？ 荅曰：八矢、少半矢。 術(shù)曰：矯矢五十，用徒一人。羽矢五十，用徒一人、太半人。筈矢五十，用徒三人、少半人。并之，得六人，以為法。以五十矢為實(shí)。實(shí)如法得一矢。 〔二四〕今有假田，初假之歲三畝一錢，明年四畝一錢，后年五畝一錢。凡三歲得一百，問(wèn)田幾何？ 荅曰：一頃二十七畝、四十七分畝之三十一。 術(shù)曰：置畝數(shù)及錢數(shù)，令畝數(shù)互乘錢數(shù)，并以為法。畝數(shù)相乘，又以百錢乘之，為實(shí)。實(shí)如法得一畝。 〔二五〕今有程耕，一人一日發(fā)七畝，一人一日耕三畝，一人一日耰種五畝。今令一人一日自發(fā)、耕、耰種之，問(wèn)治田幾何？ 荅曰：一畝一百一十四步、七十一分步之六十六。 術(shù)曰：置發(fā)、耕、耰畝數(shù)，令互乘人數(shù)，并以為法。畝數(shù)相乘為實(shí)。實(shí)如法得一畝。 〔二六〕今有池，五渠注之。其一渠開(kāi)之，少半日一滿；次，一日一滿；次，二日半一滿；次，三日一滿；次，五日一滿。今皆決之，問(wèn)幾何日滿池？ 荅曰：七十四分日之十五。 術(shù)曰：各置渠一日滿池之?dāng)?shù)，并以為法。以一日為實(shí)。實(shí)如法得一日。其一術(shù)，列置日數(shù)及滿數(shù)，今日互相乘滿，并以為法，日數(shù)相乘為實(shí)，實(shí)如法得一日。 〔二七〕今有人持米出三關(guān)，外關(guān)三而取一，中關(guān)五而取一，內(nèi)關(guān)七而取一，余米五斗。問(wèn)本持米幾何？ 荅曰：十斗九升、八分升之三。 術(shù)曰：置米五斗。以所稅者三之，五之，七之，為實(shí)。以余不稅者二、四、六相乘為法。實(shí)如法得一斗。 〔二八〕今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二而稅一，次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一。并五關(guān)所稅，適重一斤。問(wèn)本持金幾何？ 荅曰：一斤三兩四銖、五分銖之四。 術(shù)曰：置一斤，通所稅者以乘之為實(shí)。亦通其不稅者以減所通，余為法。實(shí)如法得一斤。 卷第七 荅曰：醇酒二升半， 行酒一斗七升半。 術(shù)曰：假令醇酒五升，行酒一斗五升，有余一十。令之醇酒二升，行酒一斗八升，不足二。 〔一四〕今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛。問(wèn)大、小器各容幾何？ 荅曰：大器容二十四分斛之十三， 小器容二十四分斛之七。 術(shù)曰：假令大器五斗，小器亦五斗，盈一十斗。令之大器五斗五升，小器二斗五升，不足二斗。 〔一五〕今有漆三得油四，油四和漆五。今有漆三斗，欲令分以易油，還自和余漆。問(wèn)出漆、得油、和漆各幾何？ 荅曰：出漆一斗一升、四分升之一， 得油一斗五升， 和漆一斗八升，四分升之三。 術(shù)曰：假令出漆九升，不足六升。令之出漆一斗二升，有余二升。 〔一六〕今有玉方一寸，重七兩；石方一寸，重六兩。今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤。問(wèn)玉、石重各幾何？ 荅曰：玉一十四寸，重六斤二兩。 石一十三寸，重四斤十四兩。 術(shù)曰：假令皆玉，多十三兩。令之皆石，不足十四兩。不足為玉，多為石。各以一寸之重乘之，得玉石之積重。 〔一七〕今有善田一畝，價(jià)三百；惡田七畝，價(jià)五百。今并買一頃，價(jià)錢一萬(wàn)。問(wèn)善、惡田各幾何？ 荅曰：善田一十二畝半， 惡田八十七畝半。 術(shù)曰：假令善田二十畝，惡田八十畝，多一千七百一十四錢、七分錢之二。令之善田一十畝，惡田九十畝，不足 五 百 七十一錢、七分錢之三。 〔一八〕今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等。交易其一，金輕十三兩。問(wèn)金、銀一枚各重幾何？ 荅曰：金重二斤三兩一十八銖， 銀重一斤十三兩六銖。 術(shù)曰：假令黃金三斤，白銀二斤、一十一分斤之五，不足四十九，于右行。令之黃金二斤，白銀一斤、一十一分斤之七，多一十五于左行。以分母各乘其行內(nèi)之?dāng)?shù)，以盈不足維乘所出率，并以為實(shí)。并盈不足為法。實(shí)如法，得黃金重。分母乘法以除，得銀重。約之得分也。 〔一九〕今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安至齊。齊去長(zhǎng)安三千里。良馬初日行一百九十三里，日增十三里。駑馬初日行九十七里，日減半里。良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬。問(wèn)幾何日相逢及各行幾何？ 荅曰：一十五日、一百九十一分日之一百三十五而相逢。 良馬行四千五百三十四里、一百九十一分里之四十六。 駑馬行一千四百六十五里、一百九十一分里之一百四十五。 術(shù)曰：假令十五日，不足三百三十七里半。令之十六日，多一百四十里。以盈、不足維乘假令之?dāng)?shù)，并而為實(shí)。并盈不足為法。實(shí)如法而一，得日數(shù)。不盡者，以等數(shù)除之而命分。 〔二０〕今有人持錢之蜀，賈利十三。初返歸一萬(wàn)四千，次返歸一萬(wàn)三千，次返歸一萬(wàn)二千，次返歸一萬(wàn)一千，后返歸一萬(wàn)。凡五返歸錢，本利俱盡。問(wèn)本持錢及利各幾何？ 荅曰：本三萬(wàn)四百六十八錢、三十七萬(wàn)一千二百九十三分錢之八萬(wàn)四千八百七十六。利二萬(wàn)九千五百三十一錢、三十七萬(wàn)一千二百九十三分錢之二十八萬(wàn)六千四百一十七。 術(shù)曰：假令本錢三萬(wàn)，不足一千七百三十八錢半。令之四萬(wàn)，多三萬(wàn)五千三百九十錢八分。 卷第八 方程 〔一〕今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問(wèn)上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？ 荅曰： 上禾一秉，九斗、四分斗之一， 中禾一秉，四斗、四分斗之一， 下禾一秉，二斗、四分斗之三。 方程術(shù)曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗，于右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。左方下禾不盡者，上為法，下為實(shí)。實(shí)即下禾之實(shí)。求中禾，以法乘中行下實(shí)，而除下禾之實(shí)。余如中禾秉數(shù)而一，即中禾之實(shí)。求上禾亦以法乘右行下實(shí)，而除下禾、中禾之實(shí)。余如上禾秉數(shù)而一，即上禾之實(shí)。實(shí)皆如法，各得一斗。 〔二〕今有上禾七秉，損實(shí)一斗，益之下禾二秉，而實(shí)一十斗。下禾八秉，益實(shí)一斗與上禾二秉，而實(shí)一十斗。問(wèn)上、下禾實(shí)一秉各幾何？ 荅曰： 上禾一秉實(shí)一斗、五十二分斗之一十八， 下禾一秉實(shí)五十二分斗之四十一。 術(shù)曰：如方程。損之曰益，益之曰損。損實(shí)一斗者，其實(shí)過(guò)一十斗也。益實(shí)一斗者，其實(shí)不滿一十斗也。 〔三〕今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，實(shí)皆不滿斗。上取中，中取下，下取上各一秉而實(shí)滿斗。問(wèn)上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？ 荅曰： 上禾一秉實(shí)二十五分斗之九， 中禾一秉實(shí)二十五分斗之七， 下禾一秉實(shí)二十五分斗之四。 術(shù)曰：如方程，各置所取，以正負(fù)術(shù)入之。 正負(fù)術(shù)曰：同名相除，異名相益，正無(wú)入負(fù)之，負(fù)無(wú)入正之。其異名相除，同名相益，正無(wú)入正之，負(fù)無(wú)入負(fù)之。 〔四〕今有上禾五秉，損實(shí)一斗一升，當(dāng)下禾七秉。上禾七秉，損實(shí)二斗五升，當(dāng)下禾五秉。問(wèn)上、下禾實(shí)一秉各幾何？ 荅曰： 上禾一秉五升， 下禾一秉二升。 術(shù)曰：如方程，置上禾五秉正，下禾七秉負(fù)，損實(shí)一斗一升正。次置上禾七秉正，下禾五秉負(fù)，損實(shí)二斗五升正。以正負(fù)術(shù)入之。 〔五〕今有上禾六秉，損實(shí)一斗八升，當(dāng)下禾一十秉。下禾十五秉，損實(shí)五升，當(dāng)上禾五秉。問(wèn)上、下禾實(shí)一秉各幾何？ 荅曰： 上禾一秉實(shí)八升， 下禾一秉實(shí)三升。 術(shù)曰：如方程，置上禾六秉正，下禾一十秉負(fù)，損實(shí)一斗八升正。次置上禾五秉負(fù)，下禾一十五秉正，損實(shí)五升正。以正負(fù)術(shù)人之。 〔六〕今有上禾三秉，益實(shí)六斗，當(dāng)下禾十秉。下禾五秉，益實(shí)一斗，當(dāng)上禾二秉。問(wèn)上、下禾實(shí)一秉各幾何？ 荅曰： 上禾一秉實(shí)八斗， 下禾一秉實(shí)三斗。 術(shù)曰：如方程，置上禾三秉正，下禾一十秉負(fù)，益實(shí)六斗負(fù)。次置上禾二秉負(fù)，下禾五秉正，益實(shí)一斗負(fù)。以正負(fù)術(shù)入之。 〔七〕今有牛五、羊二，直金十兩。牛二、羊五直金八兩。問(wèn)牛羊各直金幾何？ 荅曰： 牛一，直金一兩、二十一分兩之一十三， 羊一，直金二十一分兩之二十。 術(shù)曰：如方程。 〔八〕今有賣牛二、羊五，以買十三豕，有余錢一千。賣牛三、豕三，以買九羊，錢適足。賣羊六、豕八，以買五牛，錢不足六百。問(wèn)牛、羊、豕價(jià)各幾何？ 荅曰： 牛價(jià)一千二百， 羊價(jià)五百， 豕價(jià)三百。 術(shù)曰：如方程，置牛二、羊五正，豕一十三負(fù)，余錢數(shù)正；次牛三正，羊九負(fù)，豕三正；次牛五負(fù)，羊六正，豕八正，不足錢負(fù)。以正負(fù)術(shù)入之。 卷第九 句股 〔一〕今有句三尺，股四尺，問(wèn)為弦?guī)缀危? 荅曰：五尺。 〔二〕今有弦五尺，句三尺，問(wèn)為股幾何？ 荅曰：四尺。 〔三〕今有股四尺，弦五尺，問(wèn)為句幾何？ 荅曰：三尺。 句股術(shù)曰：句股各自乘，并，而開(kāi)方除之，即弦。 又股自乘，以減弦自乘，其余開(kāi)方除之，即句。 又句自乘，以減弦自乘，其余開(kāi)方除之，即股。 〔四〕今有圓材徑二尺五寸，欲為方版，令厚七寸。問(wèn)廣幾何？ 荅曰：二尺四寸。 術(shù)曰：令徑二尺五寸自乘，以七寸自乘減之，其余開(kāi)方除之，即廣。 〔五〕今有木長(zhǎng)二丈，圍之三尺。葛生其下，纏木七周，上與木齊。問(wèn)葛長(zhǎng)幾何？ 荅曰：二丈九尺。 術(shù)曰：以七周乘三尺為股，木長(zhǎng)為句，為之求弦。弦者，葛之長(zhǎng)。 〔六〕今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊。問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？ 荅曰： 水深一丈二尺； 葭長(zhǎng)一丈三尺。 術(shù)曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，減之，余，倍出水除之，即得水深。加出水?dāng)?shù)，得葭長(zhǎng)。 〔七〕今有立木，系索其末，委地三尺。引索卻行，去本八尺而索盡。問(wèn)索長(zhǎng)幾何？ 荅曰：一丈二尺、六分尺之一。 術(shù)曰：以去本自乘，令如委數(shù)而一，所得，加委地?cái)?shù)而半之，即索長(zhǎng) 〔八〕今有垣高一丈。倚木于垣，上與垣齊。引木卻行一尺，其木至地。問(wèn)木幾何？ 荅曰：五丈五寸。 術(shù)曰：以垣高十尺自乘，如卻行尺數(shù)而一，所得，以加卻行尺數(shù)而半之，即木長(zhǎng)數(shù)。 〔九〕今有圓材，埋在壁中，不知大小。以鐻鐻之，深一寸，鐻道長(zhǎng)一尺。問(wèn)徑幾何？ 荅曰：材徑二尺六寸。 術(shù)曰：半鐻道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材徑。 〔一０〕今有開(kāi)門去閫一尺，不合二寸。問(wèn)門廣幾何？ 荅曰：一丈一寸。 術(shù)曰：以去閫一尺自乘，所得，以不合二寸半之而一，所得，增不合之半，即得門廣。 〔一一〕今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈。問(wèn)戶高、廣各幾何？ 荅曰： 廣二尺八寸； 高九尺六寸。 術(shù)曰：令一丈自乘為實(shí)。半相多，令自乘，倍之，減實(shí)，半其余。以開(kāi)方除之，所得，減相多之半，即戶廣。加相多之半，即戶高。 〔一二〕今有戶不知高廣，竿不知長(zhǎng)短。橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出。問(wèn)戶高、廣、袤各幾何？ 荅曰： 廣六尺， 高八尺， 袤一丈。 術(shù)曰：從、橫不出相乘，倍，而開(kāi)方除之。所得加從不出即戶廣，加橫不出即戶高，兩不出加之，得戶袤。 〔一三〕今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。問(wèn)折者高幾何？ 荅曰：四尺、二十分尺之十一。 術(shù)曰：以去本自乘，令如高而一，所得，以減竹高而半其余，即折者之高也。 〔一四〕今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙東行。甲南行十步而邪東北與乙會(huì)。問(wèn)甲乙行各幾何？ 荅曰： 乙東行一十步半； 甲邪行一十四步半及之。 術(shù)曰：令七自乘，三亦自乘，并而半之，以為甲邪行率。邪行率減于七自乘，余為南行率。以三乘七為乙東行率。置南行十步，以甲邪行率乘之，副置十步，以乙東行率乘之，各自為實(shí)。實(shí)如南行率而一，各得行數(shù)。 〔一五〕今有句五步，股十二步。問(wèn)句中容方幾何？ 荅曰：方三步、十七分步之九。 術(shù)曰：并句、股為法，句股相乘為實(shí)，實(shí)如法而一，得方一步。 〔一六〕今有句八步，股十五步。問(wèn)句中容圓，徑幾何？ 荅曰：六步。 術(shù)曰：八步為句，十五步為股，為之求弦。三位并之為法，以句乘股，倍之為實(shí)。實(shí)如法得徑一步。 〔一七〕今有邑方二百步，各中開(kāi)門。出東門十五步有木。問(wèn)出南門幾何步而見(jiàn)木？ 荅曰：六百六十六步、太半步。 術(shù)曰：出東門步數(shù)為法，半邑方自乘為實(shí)，實(shí)如法得一步。 〔一八〕今有邑，東西七里，南北九里，各中開(kāi)門。出東門十五里有木。問(wèn)出南門幾何步而見(jiàn)木？ 荅曰：三百一十五步。 術(shù)曰：東門南至隅步數(shù)，以乘南門東至隅步數(shù)為實(shí)。以木去門步數(shù)為法。實(shí)如法而一。 〔一九〕今有邑方不知大小，各中開(kāi)門。出北門三十步有木，出西門七百五十步見(jiàn)木。問(wèn)邑方幾何？ 荅曰：一里。 術(shù)曰：令兩出門步數(shù)相乘，因而四之，為實(shí)。開(kāi)方除之，即得邑方。 〔二０〕今有邑方不知大小，各中開(kāi)門。出北門二十步有木。出南門十四步，折而西行一千七百七十五步見(jiàn)木。問(wèn)邑方幾何？ 荅曰：二百五十步。 術(shù)曰：以出北門步數(shù)乘西行步數(shù)，倍之，為實(shí)。并出南門步數(shù)為從法，開(kāi)方除之，即邑方。 〔二一〕今有邑方十里，各中開(kāi)門。甲乙俱從邑中央而出。乙東出；甲南出，出門不知步數(shù)，邪向東北磨邑，適與乙會(huì)。率甲行五，乙行三。問(wèn)甲、乙行各幾何？ 荅曰： 甲出南門八百步，邪東北行四千八百八十七步半，及乙。 乙東行四千三百一十二步半。 術(shù)曰：令五自乘，三亦自乘，并而半之，為邪行率。邪行率減于五自乘者，余，為南行率。以三乘五，為乙東行率。置邑方半之，以南行率乘之，如東行率而一，即得出南門步數(shù)。以增邑方半，即南行。置南行步求弦者，以邪行率乘之，求東者以東行率乘之，各自為實(shí)。實(shí)如南行率得一步。 〔二二〕有木去人不知遠(yuǎn)近。立四表，相去各一丈，令左兩表與所望參相直。從后右表望之，入前右表三寸。問(wèn)木去人幾何？ 荅曰：三十三丈三尺三寸、少半寸。 術(shù)曰：令一丈自乘為實(shí)，以三寸為法，實(shí)如法而一。 〔二三〕有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九丈五尺。人立木東三里，望木末適與山峰斜平。人目高七尺。問(wèn)山高幾何？ 荅曰：一百六十四丈九尺六寸、太半寸。 術(shù)曰：置木高減人目高七尺，余，以乘五十三里為實(shí)。以人去木三里為法。實(shí)如法而一，所得，加木高即山高。 〔二四〕今有井徑五尺，不知其深。立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸。問(wèn)井深幾何？ 荅曰：五丈七尺五寸。 術(shù)曰：置井徑五尺，以入徑四寸減之，余，以乘立木五尺為實(shí)。以入徑四寸為法。實(shí)如法得一寸. |
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