初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)之因式分解2010-04-10 09:51:20| 分類： 教學(xué)研究 | 標(biāo)簽： |字號(hào)大中小 訂閱 雖然現(xiàn)在不鼓勵(lì)數(shù)學(xué)奧賽，但培尖卻是不可或缺的，特將因式分解的方法和習(xí)題整理于此，以饗讀者。 一．常用的公式 1. (1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n為正整數(shù)； (8)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n為偶數(shù)； (9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n為奇數(shù)． 二．常用的方法 1．雙十字相乘法 用雙十字相乘法對(duì)多項(xiàng)式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進(jìn)行因式分解的步驟是： (1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一個(gè)十字相乘圖(有兩列)； (2)把常數(shù)項(xiàng)f分解成兩個(gè)因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx． 例1：分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3 解：原式= (x+2y-3)(2x-11y+1)． 2．求根法 定理1(因式定理) 若a是一元多項(xiàng)式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項(xiàng)式f(x)有一個(gè)因式x-a． 根據(jù)因式定理，找出一元多項(xiàng)式f(x)的一次因式的關(guān)鍵是求多項(xiàng)式f(x)的根．對(duì)于任意多項(xiàng)式f(x)，要求出它的根是沒有一般方法的，然而當(dāng)多項(xiàng)式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，即整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，經(jīng)常用下面的定理來判定它是否有有理根． 定理2 若即約分?jǐn)?shù)q / p是整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+……+an-1x+an的根，則必有p是a0的約數(shù)，q是an的約數(shù)．特別地，當(dāng)a0=1時(shí)，整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)的整數(shù)根均為an的約數(shù)． 例2 分解因式：x3-4x2+6x-4 分析 這是一個(gè)整系數(shù)一元多項(xiàng)式，原式若有整數(shù)根，必是-4的約數(shù)，逐個(gè)檢驗(yàn)-4的約數(shù)：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一個(gè)根，所以根據(jù)定理1，原式必有因式x-2． 解法 用分組分解法，使每組都有因式(x-2)． 原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4) =x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x2-2x+2)． 3．待定系數(shù)法 在因式分解時(shí)，一些多項(xiàng)式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾個(gè)因式，但這幾個(gè)因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時(shí)可以用一些字母來表示待定的系數(shù)．由于該多項(xiàng)式等于這幾個(gè)因式的乘積，根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個(gè)特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(或方程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法． 例3分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3 分析：由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的兩個(gè)一次項(xiàng)一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出m和n，使問題得到解決． 解 設(shè) x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn， 比較兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，則有
解之得m=3，n=1．所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1)． 4．添項(xiàng)、拆項(xiàng)法 例4因式分解：①x4+x2+1 ②a3+b3+c3－3abc 解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x) 例6因式分解：①x3－5x2+9x－6 ②2x3－13x2+3 例8 分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4（提公因式法） (2)x3-8y3-z3-6xyz（公式法） (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab（公式法或分組后運(yùn)用公式法） (4)a7-a5b2+a2b5-b7（分組后提公因式法） (5)x15+x14+x13+…+x2+x+1（構(gòu)造法） 分析：x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)， (6)x3-9x+8（拆項(xiàng)法） 解法1 將常數(shù)項(xiàng)8拆成-1+9． 原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)． 解法2 將一次項(xiàng)-9x拆成-x-8x． 原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)． 解法3 將三次項(xiàng)x3拆成9x3-8x3． 原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)． 解法4 添加兩項(xiàng)-x2+x2． 原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)． (7)a3b-ab3+a2+b2+1（添項(xiàng)法） 三.配套練習(xí)
練習(xí)1 1．用雙十字相乘法分解因式： (1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3； (2)x2-xy+2x+y-3； (3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2． 2．用求根法分解因式： (1)x3+x2-10x-6； (2)x4+3x3-3x2-12x-4； (3)4x4+4x3-9x2-x+2． 3．用待定系數(shù)法分解因式： (1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20； (2)x4+5x3+15x-9． 練習(xí)2 分解因式： (1)x9+x6+x3-3； (2)(m2-1)(n2-1)+4mn； (3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4； (4)(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90 (5)6x4+7x3-36x2-7x+6． (6)(x2+xy+y2)2-4xy(x2+y2) (7)x10+x5-2； (8)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5 (9）x3+3x2-4； (10)x4-11x2y2+y4； (11)x3+9x2+26x+24； (12)x4-12x+323． (13)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1； (14)x4+7x3+14x2+7x+1； (15)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1； (16)(x+3)(x2-1)(x+5)-20． 練習(xí)3 分解因式： 1． ①x4+x2y2+y4 ②x4+4 ③x4－23x2y2+y4 ④x3+6x2+11x+6 ⑤a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+2 ③（x+1)(x+2)(x+3)(x+4)－48 ④（2x－7)(2x+5)(x2－9)－91
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