第一章表達式的輸入 

1．數(shù)學表達式的二維格式輸入

    分式 <<<x+Ctrl+/

    N次方 <<<x+Ctrl+^

    開2次方<<<ctrl+@

    下標 <<<Ctrl+-

    要取消二維格式，按下Ctrl+space

    可以從file菜單中激活Plaettes->Basic Input工具欄即可

2.特殊字符的輸入

使用工具欄，從FILE菜單中選取Complete Characters即可

第二章幫助

     按下F1調(diào)出幫助菜單

第三章數(shù)據(jù)類型和常數(shù)

1.基本的數(shù)值類型有四種：整數(shù)，有理數(shù)，實數(shù)和復數(shù)

2.不同類型數(shù)的轉(zhuǎn)換

   N[x] 將x轉(zhuǎn)換成實數(shù)

   N[x] 將x轉(zhuǎn)換成近似實數(shù)，精度為n

   Rationalize[x] 給出x的有理數(shù)近似值

   Rationalize[x,dx] 給出x的有理數(shù)近似值，誤差小于dx

3.數(shù)學常數(shù)

 Pi   表示p=3.1415926......

 E      自然對數(shù)的底

 e=2.71802.....

 Degree    p/180

 I     虛數(shù)單位

 Infinity   無窮大

 -infinity  負的無窮大

 GondenRatio   黃金分割數(shù)0.61803

4.數(shù)的輸出形式

 NumberForm[expr,n] 以n位精度的實數(shù)形式輸出實數(shù)expr

 ScientificFormat[expr] 以科學記數(shù)法輸出實數(shù)expr

 EngineergForm[expr] 以工程記數(shù)法輸出實數(shù)expr

5.變量的命名

   我們自定義的變量應(yīng)該是以小寫字母開始，后跟數(shù)字和字母的組合，長度不限。

給變量賦值

  《 1》.在Mathmatica中用等號＝為變量賦值。同一個變量可以表示一個數(shù)值，一個數(shù)組，一個表達式，甚至一個圖形。

  《2》.對于已定義的變量，當你不再使用它是，為防止變量值的混淆，可以隨時用＝.清除他的值，如果變量本身也要清除用函數(shù)Clear[x]例如

 ln[6]:=u=.

ln[7]:=2u+v

Out[7]=2+2u

  《3》.變量的替換

      在給定一個表達式時其中的變量可能取不同的值，這是可用變量替換來計算表達式的不同值。方法為用expr/.例如：

Ln[1]:=f=x/2+1

Out[1]=

Ln[2]:=f/.x->1

Out[2]=

Ln[3]:=f/.->2

Out[3]=3

如果表達式中有多個變量也可以同時替換方法為例如有兩個：

expr/.{x->xval,y->val}

Ln[4]:=(x+y)(x-y)^2/.{x->3,y->1-a}

Out[4]=

第四章函數(shù)的使用-------重點

一、  二維圖形

   1．  一元函數(shù)的圖形

    在平面直角坐標系中繪制函數(shù)y =f（x）的圖形的函數(shù)是Plot，其調(diào)用格式如下：

    Plot[f（x），{x，a，b}]                  繪制函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]范圍內(nèi)的圖形。

    Plot[{f₁（x），f₂（x），…}，{x，a，b}]   同時繪制多個函數(shù)的圖形。

（1）        第一類可選參數(shù)

   第一類可選參數(shù)有以下幾種。

l        PlotRange指定繪圖的范圍。它的可選值是：

    Automatic               由Mathematica自動選取范圍切除無窮值點和尖峰（默認值）。

    All                      畫出所有點。

    {min，max}              給出y（三維為z）軸方向的取值范圍。

    {{x₁，x₂}，{y₁，y₂}}      分別給出x，y（三維加z）軸方向的取值范圍。

l        AspectRatio指定圖形的高寬比。它的可選值是：

    默認值為0.618（黃金分割），準確值是1/GoldenRatio，其中GoldenRatio= 是一個Mathematica常數(shù)。如果取Automatic，則高寬比為1，還可以取任何正數(shù)。如果不設(shè)置這個參數(shù)，則圓變成橢圓，設(shè)此參數(shù)值為Automatic則可解決問題。

l        Axes用于指定是否顯示坐標軸。它有三個值：

    True（或Automatic）             表示畫出坐標軸（默認值）。

    False                            表示不畫出坐標軸。

    {True，F(xiàn)alse} 或 {False，True}     只畫出一個軸。

l        AxesOrigin用于指定兩個坐標軸的交點坐標。它有兩種選擇：

    Automatic     由Mathematica自動選擇，但可能不在（0，0）點（默認值）。

    {x，y}        給出交點坐標。

l        Ticks用于給坐標軸加上刻度或給坐標軸上的點加標記。常用的選項值為：

    Automatic                           由Mathematica自動加上刻度（默認值）。

    None                               不加刻度。

    {{x₁，x₂，…}，{y₁，y₂，…}}            在橫軸上的點x₁，x₂，…和縱軸上的點y₁，y₂，…處加上刻度。

    {{x₁，“字符串1”}，{x₂，“字符串2”}，…}，{{y₁，“字符串1”}，{y₂，“字符串2”}，…}}                              在橫軸上的點x₁，x₂，…和縱軸上的點y₁，y₂，…處寫上字符串。

l        AxesStyle用于設(shè)置坐標軸的顏色、線寬等選項。它的值為：

    {選項1，選項2，…}                                        對所有軸設(shè)置相同的選項。

l            {{x軸選項1，x軸選項2，…}，{y軸選項1，y軸選項2，…}    分別對各軸設(shè)置不同的選項。Frame用于給圖形加框。它的值為：

    False      不加框（默認值）。

    True       加框。

l        GridLines用于加網(wǎng)格線。它的值為：

    None                               不加網(wǎng)格線（默認值）。

    Automatic                           由Mathematica自動加上網(wǎng)格線。

    {{x₁，x₂，…}，{y₁，y₂，…}}            在橫軸上的點x₁，x₂，…和縱軸上的點y₁，y₂，…處加上網(wǎng)格線。

l        Background用于指定背景顏色?？梢允褂枚喾N顏色模式，常用選項是：

    Automatic           實際顏色與Windows的窗口顏色一致，但利用Mathematica的直接打印功能輸出時是白色的（默認值）。

    GrayLevel[k]           其中k是0到1之間的數(shù)，給出灰度大小，0為黑色，1為白色。

    RGBColor[r，g，b]     其中r，g，b是0到1之間的數(shù)分別表示紅、綠、藍色的強度，[1，1，1]為白色，[0，0，0]為黑色，[1，0，0]為紅色。

Mathematica提供了設(shè)置顏色的簡便方法，單擊Mathematica菜單Input中的第三項ColorSelector，可以打開顏色選擇對話框。這是一個標準的Windows顏色選擇對話框，單擊對話框左邊的一種基本顏色或者利用對話框右邊的色框自定義一種顏色，然后單擊確定按鈕退出，則在當前工作區(qū)的光標處自動寫出如RGBColor[0.996109，0.996109，0.500008]的表達式，表示剛才選中的顏色。

l        PlotLabel用于在圖形上方居中加注釋。它的值為：

    None          沒有注釋（默認值）。

    “字符串”    用雙引號括起來的字符串。

（2）        第二類可選參數(shù)

    第二類可選參數(shù)有以下幾種：

l        PlotStyle用于規(guī)定曲線的線型和顏色。常用值是：

    Automatic              曲線是黑色實線（默認值）。

    GrayLevel[k]            指定曲線的灰度k。

    RGBColor[r，g，b]      指定曲線的顏色。

    PointSize[d]            其中d是點的直徑與整個圖形寬度之比（二維時默認值為0.008，三維時默認值為0.01）。

    Thickness[r]            其中r是線的寬度與整個圖形寬度之比（二維時默認值為0.004，三維時默認值為0.001）

    Dashing[{r₁，r₂，…}]     交替使用數(shù)r₁，r₂，…作為線段和空白的相對長度畫虛線（其中r₁，r₂，…是遠遠小于1的數(shù)，整個圖形寬度為1）。

l        PlotPoints規(guī)定繪圖時取的最少點數(shù)。它的默認值是25，畫一條變化劇烈的曲線應(yīng)該增大點數(shù)。

l         二維參數(shù)圖

    曲線方程由參數(shù)形式給出是很常見的，繪制平面參數(shù)式曲線的函數(shù)是ParametricPlot，其調(diào)用格式如下：

    ParametricPlot[{x(t)，y(t)}，{t，a，b}]                         其中t的取值范圍是區(qū)間[a，b]。

    ParametricPlot[{{x₁(t)，y₁(t)}，{x₂(t)，y₂(t)}，…}，{t，a，b}]      同時畫出多條曲線。

2．  繪制散點圖

    用一個表給出點列中各點的坐標，函數(shù)ListPlot用于繪制散點圖，其調(diào)用格式如下：

    ListPlot[{y₁，y₂，…}]                      畫出點列（1，y₁），（2，y₂），…。

    ListPlot[{{x₁，y₁}，{x₂，y₂}，…}]           畫出點列（x₁，y₁），（x₂，y₂），…。

    這個函數(shù)還有可選參數(shù)PlotJoined，用于將各點用線段順序連接起來，畫出折線圖，它的值為：

    False      不連接（默認值）。

    True       連接各點。

3．  等值線圖和密度圖

（1）        等值線圖

    等值線圖用灰度表示函數(shù)值的大小，越亮的地方函數(shù)值越大，繪制函數(shù)z=f（x，y）等值線圖使用函數(shù)：

    ContourPlot[f，{x，xmin，xmax}，{y，ymin，ymax}]       其中f是二元函數(shù)的表達式。

（2）        密度圖

    密度圖也用灰度表示函數(shù)值的大小，越亮的地方函數(shù)值越大，這與等值線圖類似。繪制密度圖的函數(shù)是：

    DensityPlot[f，{x，xmin，xmax}，{y，ymin，ymax}]        其中f是二元函數(shù)的表達式。

4．  外部繪圖函數(shù)

    Mathematica繪制二維圖形的內(nèi)部函數(shù)缺少一些功能，如繪制極坐標圖形、直方圖和向量場等。但是Mathematica帶有繪圖程序包，它們在標準擴展程序包子集Graphics中。程序文件Graphics的繪圖功能花樣繁多，不能一一列舉，可以通過查看Help，從中找到所需的外部函數(shù)及其范例。

二、三維圖形

    Mathematica在繪制三維圖形方面功能很強，能滿足實際需要。下面使用繪制參數(shù)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面的函數(shù)，繪制了一些高等數(shù)學中的實用曲面，表明Mathematica的繪圖功能很有實用價值。

1．  二元函數(shù)圖形

（1）        繪制二元函數(shù)圖形的函數(shù)

    在空間直角坐標系中繪制二元函數(shù)z = f（x，y）所表示的曲面的函數(shù)是Plot3D，其調(diào)用格式如下：

    Plot3D[f，{x，xmin，xmax}，{y，ymin，ymax}]             其中二元函數(shù)f的定義域是一個矩形區(qū)域。

    Plot3D[{f，s}，{x，xmin，xmax}，{y，ymin，ymax}]        這里s是著色表達式用于給曲面著色。

（2）        可選參數(shù)

函數(shù)Plot3D有以下可選參數(shù)。

l        Boxed說明是否給圖形加立體框。它的值為：

    True      加立體框（默認值）。

    False     不加立體框。

l        BoxRatios[r_x，r_y，r_z]給出3個方向上的長度比，默認值為[1，1，0.4]。

l        Mesh  說明在曲面上是否畫網(wǎng)格。它的值為：

    True  畫網(wǎng)格（默認值）。

    False  不畫網(wǎng)格。

l        HiddenSurface  說明是否隱藏曲面被遮住的部分。它的值為：

     True    隱藏（默認值）。

     False   不隱藏。

l        Shading說明是否在曲面上按函數(shù)值大小涂灰色（或彩色）。它的值為：

    True     曲面上涂色（默認值）。

    False     只有曲面網(wǎng)格線，曲面為白色。

l        ColorFunction   決定曲面用灰度還使用彩色涂色。

l        FaceGrids      用于添加坐標網(wǎng)格線。它的值為：

    None                        沒有坐標網(wǎng)格線（默認值）。

    All                         由Mathematica自動在立體框的6個面上添加坐標網(wǎng)格線。

    {face1，face2，…}           指定6個面中的那些面添加網(wǎng)格線（其中face1等表示由3個數(shù)組成的表，例如{0，0，-1}表示底面、{0，0，1}表示頂面，3個數(shù)必須有兩個是0，另一個為1或-1）。

    {{face，{表1，表2}，…}     其中表1和表2分別指定兩個坐標軸上網(wǎng)格線的坐標值。

l        Lighting          說明是否打開光源。默認值為True，當曲面上按函數(shù)值大小涂灰色時，曲面由于反光而呈現(xiàn)色彩。如果曲面上按函數(shù)值大小涂彩色，則光源不起作用。

l        ViewPoint         用于設(shè)置觀察點。默認值為{1.3，-2.4，2}，可以重新將觀察點設(shè)置為任何點，從不同角度觀察曲面的形狀。直接選擇觀察點的坐標絕非易事，為此這個軟件開發(fā)了直觀選擇觀察點的功能，十分方便和有趣。單擊Mathematica菜單Input中的第二項3D ViewPoint Selector，就可以直觀選擇觀察點。

（3）        由坐標數(shù)據(jù)表繪制曲面的函數(shù)

   最后介紹由坐標數(shù)據(jù)表繪制曲面的函數(shù)：

   ListPlot3D[{{z₁₁，z₁₂，z₁₃，…}，{z₂₁，z₂₂，z₂₃，…}，…}]           其中參數(shù)是一個m行、n列的矩陣，這個函數(shù)以坐標（j，i，z_ij）作為曲面網(wǎng)格點繪制一個曲面。

    這個函數(shù)的參數(shù)令人費解，以下通過最簡單的例子表明數(shù)據(jù)與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系。

2．  三維參數(shù)圖形

（1）        三維參數(shù)式曲線

繪制三維參數(shù)式曲線的函數(shù)是：

    ParametricPlot3D[{x（t），y（t），z（t）}，{t，a，b}]      如果第一個參數(shù)改為{{曲線1參數(shù)式}，{曲線2參數(shù)式}，…}，可以同時畫出多條曲線。

（2）        三維參數(shù)式曲面

    函數(shù)Plot3D的最大缺陷在于曲面總是定義在矩形區(qū)域上，這不能滿足實際需要。Mathematica提供的畫三維參數(shù)圖形的功能，留給用戶自由變換的余地，用途廣泛。

    繪制三維參數(shù)式曲面與繪制三維參數(shù)式曲線使用同一函數(shù)，只是參數(shù)有差異：

3．      ParametricPlot3D[{x（u，v），y（u，v），z（u，v）}，{u，umin，umax}，{v，vmin，vmax}]          如果第一個參數(shù)改為{{曲面1參數(shù)式}，{曲面2參數(shù)式}，…}，可以同時畫出多個曲面。使用外部函數(shù)繪制三維圖形

    在Mathematica標準擴展程序包子集Graphics中，也有許多繪制三維圖形的程序文件，其中有不少出色的繪圖函數(shù)，以下通過一些例子來展示它們的功能。

（1）        改進的三維參數(shù)式繪圖函數(shù)

    程序文件ParametricPlot3D.m內(nèi)含有多個擴展的三維參數(shù)式圖形繪制函數(shù)，其中首要的是函數(shù)ParametricPlot3D，改進了同名的內(nèi)部函數(shù)，允許指定自變量的步長，這在有些情況下就很必要。

（2）        使用柱面坐標參數(shù)式的繪圖函數(shù)

    程序文件ParametricPlot3D.m里有使用柱面坐標參數(shù)式圖形繪制函數(shù)：

CylindricalPlot3D[z(r，θ)，{r，rmin，rmax}，{θ,θmin，θmax}]       其中z是r和θ的函數(shù)，而x = rcosθ，y = rsinθ。

（3）        使用球面坐標參數(shù)式的繪圖函數(shù)

    程序文件ParametricPlot3D.m里有使用球面坐標參數(shù)式圖形繪制函數(shù)：

SphericalPlot3D[r(φ,θ),{ φ，φmin，φmax}，{θ，θmin，θmax}]      其中r是φ和θ的函數(shù)，而x=rsinφcosθ，y=rsinφsinθ，z=rcosφ。

    說明：這里的字母φ和θ是按我國教科書的習慣，而Help中正好將它們對調(diào)。

（4）        由曲線生成的旋轉(zhuǎn)曲面

    程序文件SurfaceOfRevolution.m中有名為SurfaceOfRevolution的函數(shù)，用于由曲線旋轉(zhuǎn)生成曲面。具體形式如下：

    SurfaceOfRevolution[f[x]，{x，xmin，xmax}]                   將xOz平面上方程為z = f（x）的曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周生成的曲面。

    SurfaceOfRevolution[{x[t]，z[t]}，{t，tmin，tmax}]             xOz平面上曲線方程由參數(shù)式x = x（t），z = z（t）給出。

    SurfaceOfRevolution[{x[t]，y[t]，z[t]}，{t，tmin，tmax}]        空間的曲線方程由參數(shù)式x = x（t），y = y（t），z = z（t）給出。

    還有兩個可選參數(shù)：

    {θ，θmin，θmax}               當旋轉(zhuǎn)不到一周時設(shè)置旋轉(zhuǎn)角度。

    RevolutionAxis→{a，b，c}          以起點在原點的向量{a，b，c}為軸旋轉(zhuǎn)。

（5）        投影函數(shù)

    投影函數(shù)Shadow也非常實用，它在程序文件Graphics3D中。

    Shadow[g]          將三維圖形對象g投影到坐標平面上