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等比數(shù)列

 moonboat 2011-06-17

等比數(shù)列

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等比數(shù)列：是一種特殊數(shù)列。它的特點是：從第2項起，每一項與前一項的比都是一個常數(shù)。

例如數(shù)列2,4,8,16,32,\cdots,2^{197},2^{198},2^{199},\cdots。

這就是一個等比數(shù)列，因為第二項與第一項的比和第三項與第二項的比相等，都等于2，2198與2197的比也等于2。我們把像2這樣的后一項與前一項的比稱之為公比，符號為q。

目錄

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[編輯]公式

[編輯]公比公式

根據(jù)等比數(shù)列的定義可得：

q=\frac {a_n}{a_{n-1}} \left(n\ge2\right)

[編輯]通項公式

我們可以任意定義一個等比數(shù)列\left\{a_n\right\}

這個等比數(shù)列從第一項起分別是a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots，公比為q，則有：

a2 = a1q，
a3 = a2q = a1q2，
a4 = a3q = a1q3，
\cdots，
以此類推可得，等比數(shù)列\left\{a_n\right\}的通項公式為：
an = an ? 1q = a1qn ? 1，

[編輯]求和公式

對于上面我們所定義的等比數(shù)列，即數(shù)列a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots。我們將所有項進(jìn)行累加。

于是把a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots稱為等比數(shù)列的和。記為：

\sum_{i=1}^{n} a_i

如果該等比數(shù)列的公比為q，則有：

S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n
=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n-1}（利用等比數(shù)列通項公式） (1)
先將兩邊同乘以公比q，有：
qS_n=a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^n
該式減去(1)式，有：
(q ? 1)Sn = a1qn ? a1 (2)
然后進(jìn)行一定的討論
當(dāng)q\ne1時，S_n=\frac {a_1(q^n-1)}{q-1}
而當(dāng)q = 1時，由(2)式無法解得通項公式。
但我們可以發(fā)現(xiàn)，此時：
S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n
=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n-1}
=a_1+a_1+a_1+\cdots+a_1
= na1
  • 綜上所述，等比數(shù)列\left\{a_n\right\}的求和公式為：
S_n=\begin{cases} \frac {a_1-a_1q^n}{1-q}, & (q\ne1) \\ na_1, & (q=1) \end{cases}
  • 經(jīng)過推導(dǎo)，可以得到另一個求和公式：當(dāng)q≠1時

{{S}_{n}}=\frac{{{a}_{1}}({{q}^{n} - 1})}{q - 1}=\frac{{{a}_{1}}{{q}^{n}} - {{a}_{1}}}{q - 1}

[編輯]當(dāng)0\le q<1時,等比數(shù)列無限項之和

由於當(dāng)0\le q<1及 n 的值不斷增加時,qn的值便會不斷減少而且趨於0,因此無限項之和:

S_{\infty}=\frac {a_1-a_1q^{\infty}}{1-q}=\frac {a_1-0}{1-q}=\frac {a_1}{1-q}

[編輯]性質(zhì)

如果數(shù)列\left\{a_n\right\}是等比數(shù)列，那么有以下幾個性質(zhì)：

  • a_n=a_mq^{n-m} (m,n\in \mathbb{N^*},n>m)
證明：當(dāng)m,n\in \mathbb{N^*},n>m時，a_mq^{n-m}=a_1q^{m-1}\times q^{n-m}=a_1q^{n-1}=a_n
  • 對于m,n,s,t\in \mathbb{N^*}，若\!m+n=s+t，則a_m\cdot a_n=a_s\cdot a_t
證明：a_m\cdot a_n=a_1q^{m-1}\cdot a_1q^{n-1}=a_1\cdot a_1\cdot q^{n+m-2}
∵\!m+n=s+t
∴a_m\cdot a_n=a_1\cdot a_1\cdot q^{s+t-2}=a_1q^{s-1}\cdot a_1q^{t-1}=a_s\cdot a_t
  • 等比中項：在等比數(shù)列中，從第二項起，每一項都是與它等距離的前后兩項的等比中項。即等比數(shù)列\left\{a_n\right\}中有三項\!a_i，\!a_j，\!a_k，其中j-i=k-j\ge1，則有a_j^2=a_ia_k
  • 在原等比數(shù)列中，每隔k項(k\in \mathbb{N^*})取出一項，按原來順序排列，所得的新數(shù)列仍為等比數(shù)列。
  • a_1\cdot a_2,a_3\cdot a_4,a_5\cdot a_6 \cdots也成等比數(shù)列。

[編輯]參見

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