圓柱齒輪傳動的強度計算

mrhg 2011-04-16

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圓柱齒輪傳動的強度計算

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1 直齒圓柱齒輪傳動的強度計算

1.齒面接觸疲勞強度計算

為了保證在預(yù)定壽命內(nèi)齒輪不發(fā)生點蝕失效，應(yīng)進行齒面接觸疲勞強度計算。因此，齒輪接觸疲勞強度計算準(zhǔn)則為：齒面接觸應(yīng)力σ_H小于或等于許用接觸應(yīng)力σ_HP，即σ_H≤σ_HP

赫茲公式

由于直齒輪在節(jié)點附近往往是單對齒嚙合區(qū)，輪齒受力較大，故點蝕首先出現(xiàn)在節(jié)點附近。因此，通常計算節(jié)點的接觸疲勞強度。

圖a表示一對漸開線直齒圓柱齒輪在節(jié)點接觸的情況。為了簡化計算，用一對軸線平行的圓柱體代替它。兩圓柱的半徑ρ1、ρ2分別等于兩齒廓在節(jié)點處的曲率半徑，如圖b所示。由彈性力學(xué)可知，當(dāng)一對軸線平行的圓柱體相接觸并受壓力作用時，將由線接觸變?yōu)槊娼佑|，其接觸面為一狹長矩形，在接觸面上產(chǎn)生接觸應(yīng)力，并且最大接觸應(yīng)力位于接觸區(qū)中線上，其數(shù)值為

式中 σH-接觸應(yīng)力（Mpa）
Fn-法向力（N）
L-接觸線長度（mm）

rS-綜合曲率半徑（mm）；
±-正號用于外接觸，負(fù)號用于內(nèi)接觸
ZE-材料彈性系數(shù)（

），

，其中E1、E2分別為兩圓柱體材料的彈性模量（MPa）；m1、m2分別為兩圓柱體材料的泊松比。

上式表明接觸應(yīng)力應(yīng)隨齒廓上各接觸點的綜合曲率半徑的變化而不同，且靠近節(jié)點的齒根處最大（圖c、d）。但為了簡化計算，通常控制節(jié)點處的接觸應(yīng)力。

節(jié)點處的參數(shù)

（1）綜合曲率半徑

由圖可知，

，代入rE公式得

式中：

，稱為齒數(shù)比。對減速傳動，u=i；對增速傳動，u=1/i。

因

，則有

（2）計算法向力

（3）接觸線長度L
引入重合度系數(shù)Ze，令接觸線長度

將上述參數(shù)代入最大接觸應(yīng)力公式得

接觸疲勞強度計算公式

令

，稱為節(jié)點區(qū)域系數(shù)。

則得

(1) 齒面接觸疲勞強度的校核公式

齒面接觸疲勞強度的校核公式為

(2) 齒面接觸疲勞強度設(shè)計公式

設(shè)齒寬系數(shù)

，并將

代入上式，則得齒面接觸疲勞強度的設(shè)計公式

式中:　d1-小齒輪分度圓直徑（mm）；
ZE-材料彈性系數(shù)(

)，按下表查?。?

注：泊松比m1＝m2＝0.3
Z_H-節(jié)點區(qū)域系數(shù)，考慮節(jié)點處輪廓曲率對接觸應(yīng)力的影響，可由下左圖查取。對于標(biāo)準(zhǔn)直齒輪，a=25⁰，Z_H=2.5
Ze-重合度系數(shù)，考慮重合度對單位齒寬載荷的影響，其值可由下右圖查取

接觸疲勞強度公式應(yīng)用說明

在齒面接觸疲勞強度計算中，配對齒輪的接觸應(yīng)力應(yīng)相等，即σ_H1=σ_H2。但兩齒輪的許用接觸應(yīng)力分別與各自齒輪的材料、熱處理、應(yīng)力循環(huán)次數(shù)有關(guān)，一般不相等，即σ_HP1=σ_HP2。因此，在使用設(shè)計公式或校核公式時，應(yīng)取σ_HP1和σ_HP2中較小者代入計算。

2. 齒根彎曲疲勞強度計算

計算準(zhǔn)則

為了保證在預(yù)定壽命內(nèi)不發(fā)生輪齒斷裂失效，應(yīng)進行齒根彎曲疲勞強度計算。其計算準(zhǔn)則為：齒根彎曲應(yīng)力σ_F小于或等于許用彎曲應(yīng)力σ_FP，即

受力的簡化

由于齒輪輪體的剛度較大，因此可將輪齒看作為懸臂梁。其危險截面可用30°切線法確定（如下左圖），即作與輪齒對稱線成30°角并與齒根過渡圓弧相切的兩條切線，通過兩切點并平行于齒輪軸線的截面即為輪齒危險截面。

30°切線法確定危險截面最大彎矩的載荷作用點

理論分析可知：齒根產(chǎn)生最大彎矩的載荷作用點應(yīng)為單對齒嚙合區(qū)的外界點D（如上右圖），但計算比較復(fù)雜，通常用于高精度齒輪傳動（6級精度以上）的彎曲強度計算。對于制造精度較低（如7、8、9級精度）的齒輪傳動，為了簡化計算，通常假設(shè)全部載荷作用于齒頂并僅由一對齒承擔(dān)。對由此引起的誤差，用重合度系數(shù)Ye予以修正。

如上左圖所示，作用于齒頂?shù)姆ㄏ蛄n，可分解為相互垂直的兩個分力：切向分力FncosaF使齒根產(chǎn)生彎曲應(yīng)力和切應(yīng)力，徑向分力FnsinaF使齒根產(chǎn)生壓應(yīng)力。其中切應(yīng)力和壓應(yīng)力起得作用很小，疲勞裂紋往往從齒根受拉邊開始。因此，只考慮起主要作用的彎曲拉應(yīng)力，并以受拉側(cè)為彎曲疲勞強度計算的依據(jù)。對切應(yīng)力、壓應(yīng)力以及齒根過渡曲線的應(yīng)力集中效應(yīng)的影響，用應(yīng)力修正系數(shù)Ysa予以修正。

齒根疲勞彎曲強度計算公式

設(shè)力臂為hF，危險截面寬度為SF，齒根危險截面的名義彎曲應(yīng)力為

式中：

，稱為齒形系數(shù)。

(1)齒根彎曲疲勞強度校核公式

計入載荷系數(shù)K、重合度系數(shù)Ye、應(yīng)力修正系數(shù)Ysa，則得齒根彎曲疲勞強度的校核公式為

將

代入上式，可得齒根彎曲疲勞強度的設(shè)計公式

式中 YFa-為載荷作用于齒頂?shù)凝X形系數(shù)，用以考慮齒廓形狀對齒根彎曲應(yīng)力sF的影響。YFa是無因次量，凡影響齒廓形狀的參數(shù)（如Z、x、α等）都影響YFa（下上圖），而與模數(shù)無關(guān)。YFa值可由下下圖查取。

YSa-應(yīng)力修正系數(shù)，其值可由下圖查取。

Ye-重合度系數(shù)，根據(jù)重合度e_a計算，按

σFP-許用彎曲應(yīng)力（Mpa）,按式

計算。

彎曲強度公式應(yīng)用說明

在齒根彎曲疲勞強度計算中，配對齒輪的齒形系數(shù)Y_Fa、應(yīng)力修正系數(shù)Y_sa、許用彎曲應(yīng)力σ_FP可能不相同。因此，在校核計算時，兩齒輪要分別進行；而在使用設(shè)計公式時，應(yīng)取Y_Fa1Y_sa1/σ_FP1和Y_Fa2Y_sa2/σ_FP2中的較大者代入計算。

2 齒輪傳動的許用應(yīng)力和設(shè)計參數(shù)選擇

1.許用應(yīng)力

（1）許用接觸應(yīng)力σ_HP

許用接觸應(yīng)力為

式中：σ_Hlim-失效概率為1%時，試驗的齒面接觸疲勞極限，由材料的σ_Hlim查取。圖中ML、MQ、ME表示對材料質(zhì)量和熱處理要求的等級（ML-低、MQ-中、ME-高），一般按MQ選擇σ_Hlim。

Z_N-接觸疲勞強度的壽命系數(shù)，其值可根據(jù)所設(shè)計齒輪的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)N=60nkt_h（n為齒輪轉(zhuǎn)速，k為齒輪每轉(zhuǎn)一周同側(cè)齒面嚙合的次數(shù)，t_h為齒輪設(shè)計的工作小時數(shù)），由接觸疲勞強度壽命系數(shù)Z_N查取。

Z_W-工作硬化系數(shù)；考慮軟（大齒輪）硬（小齒輪）齒面組合傳動過程中，小齒輪對大齒輪齒面產(chǎn)生冷作硬化，使大齒輪的許用接觸應(yīng)力得以提高，故引進該系數(shù)。其值可按下式計算：

式中　HB為大齒輪齒面的布氏硬度值；當(dāng)HB≤130HBS時，取ZW=1.2；當(dāng)HB≥470HBS時，取ZW=1；
ZX-接觸疲勞強度的尺寸系數(shù)，考慮尺寸增大使材料強度降低的系數(shù),其值由圖查??；

SH-接觸疲勞強度的最小安全系數(shù)，可由最小安全系數(shù)參考值查取。

(2) 許用彎曲應(yīng)力σ_FP

許用彎曲應(yīng)力為

式中：σ_Flim-失效概率為1%時，試驗齒輪的彎曲疲勞極限，由齒輪材料彎曲疲勞極限應(yīng)力σ_Flim查取。當(dāng)雙向受載時，應(yīng)將查得的σ_Flim值乘以0.7

Y_N--彎曲疲勞強度計算的壽命系數(shù)，可根據(jù)所設(shè)計的齒輪的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)N,由抗彎疲勞強度壽命系數(shù)Y_N查取

Y_ST-實驗齒輪的應(yīng)力修正系數(shù),取Y_ST=2.0；
YX-彎曲疲勞強度的尺寸系數(shù)，由圖查?。?

S_F-彎曲疲勞強度的安全系數(shù)，可由最小安全系數(shù)參考值查取。

2. 齒輪傳動的主要參數(shù)選擇

幾何參數(shù)的選擇對齒輪的結(jié)構(gòu)尺寸和傳動質(zhì)量有很大影響，。在滿足強度條件下，應(yīng)合理選擇。

(1) 齒數(shù)比u

為了避免齒輪傳動的尺寸過大，齒數(shù)比u不宜過大，一般取u≤7。當(dāng)要求傳動比大時，可以采用兩級或多級齒輪傳動。

(2) 模數(shù)m和小齒輪齒數(shù)z1

模數(shù)m直接影響齒根彎曲強度，而對齒面接觸強度沒有直接影響。用于傳遞動力的齒輪，一般應(yīng)使m>1.5～2mm,以防止過載時輪齒突然折斷。

標(biāo)準(zhǔn)齒輪zmin≥17，若允許輕微根切或采用變位齒輪，zmin可以少到14或更少。

對于閉式軟齒面齒輪傳動，按齒面接觸強度確定小齒輪直徑d1后，在滿足抗彎疲勞強度的前提下，宜選取較小的模數(shù)和較多的齒數(shù)，以增加重合度，提高傳動的平穩(wěn)性，降低齒高，減輕齒輪重量，并減少金屬切削量。通常取z1=20～40。對于高速齒輪傳動還可以減小齒面相對滑動，提高抗膠合能力。

對于閉式硬齒面和開式齒輪傳動，承載能力主要取決于齒根彎曲疲勞強度，模數(shù)不宜太小，在滿足接觸疲勞強度的前提下，為避免傳動尺寸過大，z1應(yīng)取較小值，一般取z1＝17～20。

配對齒輪的齒數(shù)以互質(zhì)數(shù)為好，至少不要成整數(shù)比，以使所有齒輪磨損均勻并有利于減小振動。

(3) 齒寬系數(shù)Fd

當(dāng)載荷一定時，F(xiàn)d選大值，可減小齒輪直徑和中心距，使傳動更緊湊。但齒寬將增大，載荷沿齒向分布不均勻現(xiàn)象會更嚴(yán)重。因此應(yīng)合理選擇Fd。對于閉式固定傳動比的齒輪傳動，當(dāng)齒輪精度高并軸的剛度大時，可選較大的值Fd。一般可參考齒寬系數(shù)Fd的推薦值選取。

對于基于中心距的齒寬系數(shù)Fa（＝b/a），與的關(guān)系為Fd=Fa(u+1)/2（外嚙合），設(shè)計時可換算。

為保證裝配后的接觸寬度，通常取小齒輪齒寬b1比大齒輪齒寬b2大5～10mm，強度計算時取b=b2大。

(4) 變位系數(shù)x

采用變位齒輪傳動的主要目的：提高齒輪強度，改善傳動質(zhì)量，避免根切，湊中心距等。為了實現(xiàn)這些目的，必須合理選擇變位系數(shù)。以下介紹一種線圖法，首先根據(jù)使用要求，以齒數(shù)和zS(=z1+z2)在圖外嚙合齒輪變位系數(shù)選擇范圍a上選擇適當(dāng)?shù)目傋兾幌禂?shù)xS(=x1+x2)。然后用圖外嚙合齒輪變位系數(shù)選擇范圍b分配變位系數(shù)x1和x2。即以zS/2和zS/2的坐標(biāo)值求得交點，過交點按相鄰的兩條射線L作射線，再分別過橫坐標(biāo)z1和z2作垂線與該射線相交，交點的縱坐標(biāo)即為變位系數(shù)x1和x2的值。

3 斜齒圓柱齒輪傳動的強度計算

斜齒圓柱齒輪傳動的強度計算是以其當(dāng)量直齒輪為對象進行的。因此，直齒圓柱齒輪的強度計算的方法原則上適用于斜齒輪傳動，并考慮斜齒輪傳動的特點，求出其強度計算公式。

1. 齒面接觸疲勞強度計算

斜齒圓柱齒輪的齒面接觸應(yīng)力仍按節(jié)點處計算，以法面齒形（當(dāng)量齒輪的齒形）進行分析，并綜合考慮螺旋角的影響。

斜齒輪的計算法向力為

斜齒輪節(jié)點處的綜合曲率半徑應(yīng)按法面計算，其法面曲率半徑r_n為

于是：

由于斜齒輪的接觸線是傾斜的，對接觸疲勞強度產(chǎn)生有利的影響，故引進螺旋角系數(shù)

予以考慮。斜齒輪接觸線的長度L不僅要考慮端面重合度e_a，還要考慮軸向重合度e_β的影響。引入重合度Ze，則其平均長度為

將上述關(guān)系式代入式

得

令

則齒面疲勞強度的校核公式為

取

帶入上式，則得齒面接觸疲勞強度的設(shè)計公式

式中 ZH-節(jié)點區(qū)域系數(shù)，按圖節(jié)點區(qū)域系數(shù)ZH查取

Ze-重合度系數(shù)，按圖重合度系數(shù)Ze查??；

Zβ-螺旋角系數(shù)，由下式計算

其他參數(shù)與直齒輪相同。

2 根彎曲疲勞強度計算

斜齒輪的齒根彎曲疲勞強度計算，通常按其法面當(dāng)量齒輪進行，各參數(shù)均為法面參數(shù)。由于斜齒輪的接觸線是傾斜的，輪齒多為局部折斷，其承載能力比直齒輪顯著增加。因此，螺旋角對齒根彎曲強度產(chǎn)生的有利影響，用螺旋角系數(shù)Yβ予以考慮。則齒根彎曲疲勞強度的校核公式為

取

，帶入上式，得齒根彎曲疲勞強度的設(shè)計公式

式中　YFa-齒形系數(shù)，按當(dāng)量齒數(shù) ，由圖外齒輪的齒形系數(shù)YFa查?。?
YSa-應(yīng)力修正系數(shù)，按當(dāng)量齒數(shù) ，由圖應(yīng)力修正系數(shù)YSa查??；
Ye-重合度系數(shù)，根據(jù)端面重合度系數(shù) 和軸向重合度，由下式計算

式中

為當(dāng)量齒輪的端面重合度，

Yβ-螺旋角系數(shù)，根據(jù)螺旋角β和軸向重合度eβ，由下式計算

當(dāng)eβ>1時，取eβ=1；當(dāng)β>30°時，取β=30°。其他參數(shù)與直齒輪傳動相同。(end)