專題一 動手操作問題

【例題經(jīng)典】

作圖與圖案設(shè)計

    例1  請閱讀下列材料：

    問題：現(xiàn)有5個邊長為1的正方形，排列形式如圖（1），請把它們分割后拼接成一個新的正方形．要求：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（圖中每個小正方形的邊長均為1）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形．

小東同學(xué)的做法是：設(shè)新正方形的邊長為x（x>0）．依題意，割補(bǔ)前后圖形的面積相等，有x2=5，解得x=．由此可知新正方形的邊長等于小正方形組成的矩形對角線長．于是，畫出如圖（2）所示的分割線，拼出如圖（3）所示的新正方形．

    請你參考小東的做法，解決如下問題：

現(xiàn)有10個邊長為1的正方形，排列形式如圖（4），請把它們分割后拼接成一個新的正方形．要求：在圖（4）中畫出分割線，并在圖（5）的正方形網(wǎng)格圖（圖中每個小正方形的邊長均為1）中用實(shí)線畫出拼接的新正方形．說明：直接畫出圖形，不要求寫分析過程．

解：所畫圖形如圖所示．

【點(diǎn)評】考查學(xué)生對基本幾何圖形特征及圖形變換的認(rèn)識，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的能力，想象能力和創(chuàng)新能力．

    折紙拼圖

例2 （2006年濟(jì)寧市）直角三角形通過剪切可以拼成一個與該直角三角形面積相等的矩形．方法如下：

    請你用上面圖示的方法，解答下列問題：

（1）對任意三角形，設(shè)計一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個與原三角形面積相等的矩形．

（2）對任意四邊形，設(shè)計一種方案，將它分成若干塊，再拼成一與原四邊形面積相等的矩形．

【解析】（1）如圖所示

（2）如圖所示

【考點(diǎn)精練】

1．將正方形紙片兩次對折，并剪出一個菱形小洞后展開鋪平，得到的圖形是（  ）

                       (第1題)                          (第2題)

2．把一張長方形的紙片按如圖所示的方式折疊，EM、FM為折痕，折疊后的C點(diǎn)落在B′M或B′M的延長線上，那么∠EMF的度數(shù)是（  ）

    A．85°     B．90°     C．95°     D．100°

3．（2006年廣州市）如圖（1），將一塊正方形木板用虛線劃分成36個全等的小正方形，然后，按其中的實(shí)線切成七塊形狀不完全相同的小木片，制成一副七巧板．用這副七巧板拼成圖（2）的圖案，則圖（2）中陰影部分的面積是整個圖案面積的（  ）

A．       B．        C．         D．

               (第3題)                            (第4題)

4．（2006年河南?。┤鐖D（1）所示，用形狀相同、大小不等的三塊直角三角形木板，恰好能拼成如圖（2）所示的四邊形ABCD，若AE=4，CE=3BF，那么這個四邊形的面積是___________．

5．（1）如圖（1），有兩個正方形花壇，準(zhǔn)備把每個花壇分成形狀相同的四塊，種不同的花草，圖中左邊的兩個圖是設(shè)計示例，請你在右邊的兩個正方形中再設(shè)計兩個不同的圖案．

（2）在下面的圖形中，用兩種不同的設(shè)計方案，將正方形八等分，畫出圖案．

                             圖(2)

6．（2006年浙江?。┈F(xiàn)有一張長和寬之比為2：1的長方形紙片．將它折兩次（第一次折后也可以打開鋪平再折第二次）．使得折痕將紙片分為面積相等且不重疊的四個部分（稱為一個操作），如圖甲（虛線表示折痕）．

除圖甲外，請你再給出三個不同的操作，分別將折痕畫在圖①至圖③中（規(guī)定：一個操作得到的四個圖形，和另一個操作得到的四個圖形，如果能夠“配對”得到四組全等的圖形，那么就認(rèn)為是相同的操作．如圖乙和圖甲是相同的操作）．

          ①                       ②                        ③

7．（2006年雞西市）已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個三角板的直角頂點(diǎn)與C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB（或它們的反向延長線）相交于點(diǎn)D、E．

      當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD到OA垂直時（如圖1），易證：OD+OE=OC．

當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時，在圖2、圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段OD、OE、OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．

8．操作，在△ABC中，AC=AB=2，∠C=90°，將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC，射線CB于D，E兩點(diǎn)，圖①、②、③是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的其中三種．

      探究：（1）三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，觀察線段PD與PE之間有什么大小關(guān)系？它們的關(guān)系為_________，并以圖②為例，加以證明．

      （2）三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，△PBE能否成為等腰三角形，若能指出所有的情況（即求出△PBE為等腰三角形時的CE的長）；若不能，說明理由．

      （3）若將三角板直角頂點(diǎn)，放在斜邊AB的M處，且AM：MB=1：3和前面一樣操作，試問線段MD和ME之間又有什么關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不必證明．

    （圖④供操作，實(shí)驗用）

結(jié)論為__________________．

9．（2006年廣州市）在△ABC中，AB=BC，將△ABC繞點(diǎn)A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB1C1，使點(diǎn)C1落在直線BC上（點(diǎn)C1與點(diǎn)C不重合）．

    （1）如圖①，當(dāng)∠C>60°時，寫出邊AB1與邊CB的位置關(guān)系，并加以證明；

    （2）當(dāng)∠C=60°時，寫出邊AB1與邊CB的位置關(guān)系（不要求證明）；

（3）當(dāng)∠C<60°時，請你在圖②中用尺規(guī)作圖法作出△AB1C1（保留作圖痕跡，不寫作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的結(jié)論是否還成立？并說明理由．

10．（2006年南京市）已知矩形紙片ABCD，AB=2，AD=1，將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合．

    （1）如果折痕FG分別與AD、AB交與點(diǎn)F、G（如圖①），AF=，求DE的長；

    （2）如果折痕FG分別與CD、AB交與點(diǎn)F、G（如圖②），△AED的外接圓與直線BC相切，求折痕FG的長．

答案:

考點(diǎn)精練  

1．C  2．B  3．D  4．16  5．略  

6．

7．解：圖2結(jié)論：OD+OE=OC，

證明：過C分別作OA，OB的垂線，垂足分別為P，Q，

△ CPD≌△CQE，DP=EQ，OP=OD+DP，DQ=OE-EQ，

又OP+OQ=OC，即OD+DP+OE-EQ=OC，

∴OD+DE=OC．圖3結(jié)論：OE-OD=OC  

8．略  

9．（1）AB1∥CB，證略  （2）AB1與CB平行  

（3）圖略，（1）（2）中的結(jié)論仍然成立  

10．解：（1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=，∠D=90°  

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得EF=AF=，∴DF=AD-AF=，

在Rt△DEF中，DE== 

（2）設(shè)AE與FG的交點(diǎn)為O，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得AO=EO，

取AD的中點(diǎn)M，連接MO，則MO=DE，MO∥DC，

設(shè)DE=x，則MO=x，在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，

∴AE為△AED的外接圓的直徑，O為圓心．

延長MO交BC于點(diǎn)N，則ON∥CD，

∴∠DNM=180°-∠C=90°，

∴ON⊥BC，四邊形MNCD是矩形，

∴MN=CD=AB=2，∴ON=MN-MO=2-x，

∵△AED的外接圓與BC相切，

∴ON是△AED的外接圓的半徑，

∴OE=ON=2-x，AE=2ON=4-x．

在Rt△AED中，AD2+DE2=AE2，∴12+x2=（4-x）2．

解這個方程，得x=，∴DE=，OE=2-x=．

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得AE⊥FG，∴∠FOE=∠D=90°．

又∵∠FEO=∠AED，∴△FEO∽△AED，

∴·AD．

可得FO=，又AB∥CD，

∴∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO，

∴△FEO≌△GAO，∴FO=GO，∴FG=2FO=，

∴折痕FG的長是.