摘要：利用一緩和曲線(xiàn)算例，通過(guò)數(shù)學(xué)分析，推導(dǎo)出緩和曲線(xiàn)逐樁坐標(biāo)計(jì)算公式，此公式可作為道路測(cè)設(shè)中的范例來(lái)運(yùn)用，有很強(qiáng)的指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞：緩和曲線(xiàn)、公式、逐樁坐標(biāo)

一、 引言

道路建設(shè)中，由于受地形或地質(zhì)影響，經(jīng)常需要改變線(xiàn)路方向，為滿(mǎn)足行車(chē)要求，往往要用曲線(xiàn)把兩條直線(xiàn)連接起來(lái)。曲線(xiàn)的構(gòu)成形式無(wú)外乎圓曲線(xiàn)和緩和曲線(xiàn)，本文以河北省沿海高速某曲線(xiàn)段為例推導(dǎo)出緩和曲線(xiàn)的逐樁坐標(biāo)計(jì)算公式，以方便圖紙的審核，滿(mǎn)足施工放樣的需求。本公式具有良好的操作性，方便施工、提高精度，可作為道路測(cè)設(shè)中的范例運(yùn)用。

二、公式推導(dǎo)

1 、實(shí)例數(shù)據(jù)

河北省沿海高速公路一緩和曲線(xiàn)（如圖）： AB 段為緩和曲線(xiàn)段， A 為 ZH 點(diǎn)， B 為 HY 點(diǎn)， R_B=800m ； A 點(diǎn)里程為 NK0+080 ，切線(xiàn)方位角為 θ_A=100 ° 00 ′ 24.1 ″，坐標(biāo)為 X_A=4355189.493,Y_A=476976.267 ； B 點(diǎn)里程為 NK0+158.125 ，切線(xiàn)方位角為 θ_B=102 ° 48 ′ 15.6 ″，坐標(biāo)為 X_B=4355174.669 ， Y_B=477052.964 ，推求此曲線(xiàn)段內(nèi)任意點(diǎn)坐標(biāo)。

2 、公式推導(dǎo)及實(shí)例計(jì)算

方法一：弦線(xiàn)偏角法

1 ）公式推導(dǎo)

由坐標(biāo)增量的計(jì)算方法我們不難理解，求一點(diǎn)坐標(biāo)可以根據(jù)其所在直線(xiàn)的方位角以及直線(xiàn)上另一點(diǎn)的坐標(biāo)和距待求點(diǎn)的距離。所以我們可以利用 ZH 點(diǎn)，只要知道待求點(diǎn)距 ZH 點(diǎn)的距離（弦長(zhǎng) S ）和此弦與 ZH 點(diǎn)切線(xiàn)方位角的夾角（轉(zhuǎn)角 a ），即可求出該點(diǎn)坐標(biāo)。

根據(jù)回旋線(xiàn)方程 C=RL ，用 B 點(diǎn)數(shù)據(jù)推導(dǎo)出回旋線(xiàn)參數(shù)：

C=RL_S=800*78.125=62500 （ L_S 為 B 點(diǎn)至 ZH 點(diǎn)的距離）

設(shè)待求點(diǎn)距 ZH 點(diǎn)距離為 L

因回旋線(xiàn)上任意點(diǎn)的偏角 β₀=L²/2RL_S, 且轉(zhuǎn)角 a=β₀/3 ，

可得該點(diǎn)轉(zhuǎn)角 a 。（曲線(xiàn)左轉(zhuǎn)時(shí) a 代負(fù)值）。

根據(jù)緩和曲線(xiàn)上的弧弦關(guān)系 S=L-L⁵/90R²L_S² ，

可以求出待求點(diǎn)至 ZH 點(diǎn)的弦長(zhǎng)。

然后我們利用坐標(biāo)增量計(jì)算公式可以推導(dǎo)出緩和曲線(xiàn)任意點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算公式：

X=X_A+S*cos （ θ_A+a ） =4355189.493+ （ L-L⁵/90R²L_S² ） *cos （ θ_A+L²/6RL_S ）

Y=Y_A+S*sin （ θ_A+a ） =476976.267+ （ L-L⁵/90R²L_S² ） * sin （ θ_A+L²/6RL_S ）

式中 θ_A=100 ° 0 ′ 24.1 ″

2 ）實(shí)例計(jì)算

現(xiàn)在我們利用此公式計(jì)算樁號(hào)為 NK0+140 的坐標(biāo)

第一步，求出 L=140-80=60 米

第二步，求出 a=180L²/6 π RL_S=0 ° 33 ′ 00.14 ″

第三步，求出 S=L-L⁵/90R²L_S²=60-60⁵/ （ 90*800²*78.125² ） =59.998

第四步：將 a ， S 值代入緩和曲線(xiàn)計(jì)算公式，可求出樁號(hào)為 NK0+160 點(diǎn)的坐標(biāo)為：

X=4355178.501 ， Y=477035.249 。

同理，我們可求出其它樁號(hào)的坐標(biāo)。

方法二：坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法

1 ）公式推導(dǎo)

首先我們建立坐標(biāo)系，以 ZH 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，其切線(xiàn)方向?yàn)?X 軸，過(guò)該點(diǎn)的半徑方向?yàn)?Y 軸（如圖）。根據(jù)緩和曲線(xiàn)參數(shù)方程：

x=L-L^5/40R²L_S² ；

y=L³/6RL_S

計(jì)算出曲線(xiàn)上各點(diǎn)在此坐標(biāo)系下的坐標(biāo)（ x ， y ）。

然后利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式

X=X_A+xco-,ysina

Y=Y_A+xsina+ycosa

將 (x,y) 代入該式，即可求出緩和曲線(xiàn)上各點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算公式：

X=4355189.493+ （ L-L^5/40R²L_S² ） cosθ_A - （ L³/6RL_S ） sinθ_A ；

Y=476976.267+ （ L-L^5/40R²L_S² ） sinθ_A + （ L³/6RL_S ） cosθ_A 。

式中 θ_A=100 ° 0 ′ 24.1 ″

2 ）實(shí)例計(jì)算

現(xiàn)利用此公式計(jì)算樁號(hào)為 NK0+140 的坐標(biāo)。

第一步：求出 L=140-80=60 米

第二步：求出該點(diǎn)在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo) x=59.995 ； y=0.576 。

第三步：將 L 、 x 、 y 的值代入公式可得 NK0+140 的坐標(biāo)為：

X=4355178.501 ， Y=477035.249 。

同理可計(jì)算出曲線(xiàn)上其他對(duì)應(yīng)樁號(hào)的坐標(biāo)：

NK0+100 ： X=4355185.997 ； Y=476995.959 。

NK0+120 ： X=4355182.375 ； Y=477015.628 。

為提高計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，提高工作效率和減輕計(jì)算的工作量，在實(shí)際應(yīng)用中可以配合電子計(jì)算器使用，以下是 CASIO4800P 計(jì)算器計(jì)算緩和曲線(xiàn)的公式：

Lbl 0:{EG}:A “ X0 ” ：B “ Y0 ” ：C “ C0 ” ：D “ 1/R1 ” ：E “ 1/R2 ” ：F “ DK1 ” ：G “ DK2 ”

Lbl 1:{HOR}:H “ DKi”:O “ DL”:R”DR”:H>G ＝＞ Goto 2 ◣

P= （ E-D ） /Abs(G-F):Q= Abs(H-F):I=P*Q

J=C+(I+2*D)*Q*90/ π◢

M=C+(I/4+2*D)*Q*45/2 π :N=C+(3*I/4+2*D)*Q*135/2/ π :K=C+(I/2+2*D)*Q*45/ π

X=A+Q*(cos C+4*( cos M + cos N)+2* cos K+ cos J)/12 ◢

Y=B+Q*(sinC+4*(sin M + sin N)+2* sin K+ sin J)/12 ◢

Goto 1 ◣

說(shuō)明： A 為緩和曲線(xiàn)起點(diǎn)處的縱坐標(biāo)（ X 坐標(biāo)）；

B 為緩和曲線(xiàn)起點(diǎn)處的橫坐標(biāo)（ Y 坐標(biāo)）；

C 為緩和曲線(xiàn)起點(diǎn)處的切線(xiàn)方位角；

D 為緩和曲線(xiàn)起點(diǎn)處的曲率半徑；

E 為緩和曲線(xiàn)終點(diǎn)處的曲率半徑；

F 為緩和曲線(xiàn)起點(diǎn)處的里程；

G 為緩和曲線(xiàn)終點(diǎn)處的里程；

H 為緩和曲線(xiàn)中所要放樣點(diǎn)處的里程；

注意事項(xiàng)： D 和 E 值分別為該緩和曲線(xiàn)前后兩段曲線(xiàn)元半徑的倒數(shù)（即 1 / 半徑），特別需要強(qiáng)調(diào)的是，當(dāng)曲線(xiàn)右轉(zhuǎn)的時(shí)候曲率半徑輸入時(shí)為正值，左轉(zhuǎn)的時(shí)候輸入時(shí)為負(fù)值， ZH 點(diǎn)的半徑輸“ 0 ”。

三、緩和曲線(xiàn)逐樁坐標(biāo)計(jì)算公式應(yīng)用

利用以上方法計(jì)算出對(duì)應(yīng)樁號(hào)的坐標(biāo)值，與圖紙給出的數(shù)值相比較，看兩者是否一致，以達(dá)到對(duì)圖紙審核的目的。在施工過(guò)程中，利用此方法可以提高工作效率和精度，在設(shè)計(jì)圖紙?zhí)峁┑狞c(diǎn)坐標(biāo)不能滿(mǎn)足實(shí)際要求時(shí)，可以計(jì)算出任意點(diǎn)的坐標(biāo)值來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，此計(jì)算方法在施工放樣等道路測(cè)設(shè)中起到一定作用。

四、結(jié)語(yǔ)

在沿海高速公路的道路測(cè)設(shè)中運(yùn)用此方法，提高了圖紙復(fù)核的速度，對(duì)現(xiàn)場(chǎng)的施工放樣和復(fù)核施工人員的測(cè)量資料都起到了一定的作用，通過(guò)實(shí)踐驗(yàn)證了此方法在道路測(cè)設(shè)中有較強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值，值得推廣。