三角形內(nèi)心定義 在三角形中,三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)是這個(gè)三角形內(nèi)切圓的圓心而三角形內(nèi)切圓的圓心就叫做三角形的內(nèi)心,
三角形內(nèi)心的性質(zhì) 設(shè)⊿ABC的內(nèi)切圓為☉I(r)，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2．
1、三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心．
2、三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r．
3、r=S/p．
4、在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
5、∠BIC=90°+A/2．
6、點(diǎn)O是平面ABC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)I是⊿ABC內(nèi)心的充要條件是：
a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0．
7、點(diǎn)O是平面ABC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)I是⊿ABC內(nèi)心的充要條件是：
向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．
8、⊿ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么⊿ABC內(nèi)心I的坐標(biāo)是：
(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．
9、(歐拉定理)⊿ABC中，R和r分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其外心和內(nèi)心，則OI^2=R^2-2Rr．
10、（內(nèi)角平分線分三邊長(zhǎng)度關(guān)系）
⊿ABC中，0為內(nèi)心，∠A 、∠B、 ∠C的內(nèi)角平分線分別交BC、AC、AB于Q、P、R，
則BQ/QA=a/b, CP/PA=a/c, BR/RC=c/b.
三角形外心定義三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心．三角形外心的性質(zhì)設(shè)⊿ABC的外接圓為☉G(R)，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、三角形三條邊的垂直平分線的交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形外接圓的圓心. 2、銳角三角形的外心在三角形內(nèi)；鈍角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點(diǎn)重合. 3、GA=GB=GC=R. 3、∠BGC=2∠A，或∠BGC=2(180°-∠A). 4、R=abc/4S⊿ABC. 5、點(diǎn)G是平面ABC上一點(diǎn)，那么點(diǎn)G是⊿ABC外心的充要條件是： (向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=0. 6、點(diǎn)G是平面ABC上一點(diǎn)，點(diǎn)P是平面ABC上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)G是⊿ABC外心的充要條件是： 向量PG=((tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC). 7、點(diǎn)G是平面ABC上一點(diǎn)，點(diǎn)P是平面ABC上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)G是⊿ABC外心的充要條件是： 向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC. 8、設(shè)d1，d2，d3分別是三角形三個(gè)頂點(diǎn)連向另外兩個(gè)頂點(diǎn)向量的點(diǎn)乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。 重心坐標(biāo)：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 |
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