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今天講河圖洛書的數(shù)學(xué)奧秘上河圖洛書探秘之河圖洛書的數(shù)學(xué)奧秘（一）
古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的思想家菲洛勞斯有一段著名的話，“龐大、萬能和完美無缺，是數(shù)字的力量所在。它是人類生活的開始和主宰者，是一切事物的參與者。沒有數(shù)字，一切都是混亂的和黑暗的。”——菲洛勞斯
他說：“龐大、萬能和完美無缺，是數(shù)字的力量所在。它是人類生活的開始和主宰者，是一切事物的參與者。沒有數(shù)字，一切都是混亂的和黑暗的。”我非常喜歡這段話，因為這段話，它指出了數(shù)學(xué)的神奇與奧妙。人類有了數(shù)字的概念，這是人類最初從動物界分離出來，而成為人的重要標(biāo)志之一。有了這一步，
人類才意識到自己的聰明和智慧，并且為進(jìn)一步開發(fā)智慧奠定了基礎(chǔ)。中國古代的科學(xué)技術(shù)在數(shù)學(xué)方面有輝煌的成就，其中在河圖洛書問題上的表現(xiàn)，是最早的也是最重要的成果之一。
首先談第一個問題，河圖洛書的數(shù)字構(gòu)成原理。
河圖洛書的表現(xiàn)形式是數(shù)字關(guān)系，它們必然反映著我國古代的數(shù)學(xué)水平。其中河圖與洛書的數(shù)字構(gòu)成原理，本身就是一個非常奇妙的問題。
首先談第一點，河圖的數(shù)字構(gòu)成原理。河圖的數(shù)字排列狀態(tài)，南宋朱熹《易學(xué)啟蒙》中的一與六共宗而居乎北，二與七為朋而居乎南，三與八同道而居乎東，四與九為友而居乎西，五與十相守而居乎中。 ——南宋·朱熹《易學(xué)啟蒙》（圖1朱熹）
表述是“一與六共宗而居乎北，二與七為朋而居乎南，三與八同道而居乎東，四與九為友而居乎西，五與十相守而居乎中。”這個就是這樣的意思，這是這個河圖圖，河圖這個圖。個用數(shù)字來表示位置關(guān)系，就是把它寫成數(shù)字就是這樣子。這就是朱熹所說的
“一與六共宗而居乎北，二與七為朋而居乎南，”這是上是南方，“三與八同道而居乎東，四與九為友而居乎西，五與十相守而居乎中。”這就是河圖的數(shù)字狀態(tài)排列。
河圖這樣的狀態(tài)是怎樣生成的呢？就是說它的排列過程，所依據(jù)的是什么規(guī)則呢？這個問題，清代李光地《周易折中》卷二十一“啟蒙附論”部分，把這一排列過程表述為“陽動陰靜”與“陰靜陽動”——清·李光地 《周易折中》“陽動陰靜”與“陰靜陽動”的法則。
意思是說，一到十這十個自然數(shù)當(dāng)中奇數(shù)為陽 偶數(shù)為陰一到十這十個自然數(shù)當(dāng)中，奇數(shù)為陽，偶數(shù)為陰，河圖與洛書都是由奇數(shù)與偶數(shù)進(jìn)行有規(guī)律的變化而形成的。那先看那個李光地所說的陽動陰靜“陽動陰靜”，就是這樣一個意思，李光地認(rèn)為這個河圖的圖這個數(shù)字排列構(gòu)成
它就是十個數(shù)字，五和十居中央，然后四個方向，從一開始從上，從上面開始排，一方兩個數(shù)，從外向內(nèi)。然后按順時針，就是往右轉(zhuǎn)，一二從外向內(nèi)，然后三四從外向內(nèi)，六七從外向內(nèi)，八九從外向內(nèi)。
這八個數(shù)這樣分布，分布于四方。所以陽動陰靜，就是這樣排好之后，一和七是陽數(shù)，陽動，就是單數(shù)動一和七交換位置，這個一本來在上面挪到下面，七本來是下面移到上面。左右三和九動，
交換位置。這個三和九這樣交換一下，這樣交換的結(jié)果，下邊是一六居乎北，二七居乎南，三八居乎東，四九居乎西。這就是成了河圖的數(shù)字排列了。所謂“陽動陰靜”就這個意思。就是單數(shù)動雙數(shù)不動。“陽靜陰動”“陽靜陰動”，正好和這相反。
排列的方法，是從下往起排，從下方開始排，是從內(nèi)到外排。就是一二，這是三四，六七、八九。這個起點不一樣，從下方開始也是順時針排，這個排法。排好之后，陽靜陰動就是陽不動了陰動，
就是單數(shù)不動了雙數(shù)動。雙數(shù)動，二和六這么交換位置，對交換位置。這個四和八交換位置，這一交換之后，二和六交換位置，四和八交換位置。交換了之后，就成了河圖的數(shù)字排列了。一六在下，二七在上，三八在左，四九在右。這就是李光地所總結(jié)的
“陽動陰靜”和“陽靜陰動”的這么一個規(guī)則。這就指出了河圖的數(shù)字生成過程。下面看第二個問題，二 洛書的數(shù)字構(gòu)成原理洛書的數(shù)字構(gòu)成原理。這個首先看洛書的數(shù)字排列狀態(tài)。“二九四，七五三，六一八”——《大戴禮記》
《大戴禮記》的表述是“二九四，七五三，六一八”東漢徐岳他有一本數(shù)學(xué)著作叫《數(shù)術(shù)記遺》，論述了九宮的原理和特點。南北朝時期北周有一位甄鸞，叫甄鸞的為徐岳的《數(shù)術(shù)記遺》作注釋，
他解釋徐岳所認(rèn)為的九宮的原理。他這樣描述：“九宮者，“九宮者，即二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央。”—— 甄鸞即二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央。”這個就是這樣的圖。這個洛書的數(shù)字排列就是二、九、四，七、五、三，六、一、八。
“二四為肩”就是二和四像一個人兩個肩膀的位置。“六八為足”足就是腳，就是像兩個人的腳的位置。“左三右七，戴九履一”，戴就是戴帽子，戴頭上。履就是穿的鞋，在下面。他這是描述洛書數(shù)字排列的狀態(tài)，有這樣的幾句話，
很容易記憶，也非常形象，一下子就記住了。這個洛書這樣的九個數(shù)字這樣排列，排列成這樣一個狀態(tài)，每一橫行，每一豎列，兩條對角線，三個數(shù)字之和都等于十五。 （ 圖10）它每一橫行，每一豎列和兩條對角線，每一組三個數(shù)字之和都等于十五。所以這樣的圖形，可以說是非常奇妙的。這樣的方陣，數(shù)字方陣，
縱與橫每一行、每一列加上對角線，每一組數(shù)字之和都相等，這種數(shù)學(xué)現(xiàn)象就叫做“幻方”?；梅浆F(xiàn)在國際數(shù)學(xué)界早已公認(rèn)，中國古代的洛書，是世界上最早出現(xiàn)的幻方。中國古代的洛書，是世界上最早出現(xiàn)的幻方。這是最簡單的3階幻方，3階幻方
洛書所表示的這樣的3階幻方，是怎樣生成的呢？這就說洛書的數(shù)字排列它的過程是怎樣形成的呢？南宋時期，我國有一位著名的數(shù)學(xué)家叫楊輝，楊輝 南宋數(shù)學(xué)家楊輝在中國數(shù)學(xué)史上是非常重要的一個人物。他對幻方的研究，取得了重要進(jìn)展。
在他所著的《續(xù)古摘奇算法》這本書中，討論了河圖和洛書的數(shù)學(xué)問題。其中對于洛書所表示的3階幻方的排列，找出了一種奇妙的規(guī)律。楊輝的表述是：九子斜排 上下對易左右相更 四維挺出——南宋·楊輝《續(xù)古摘奇算法》“九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出。”“九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出。”
這么四句話，我們看這個圖。所謂“九子斜排”就是從一到九這九個數(shù)，從左上到右下斜著排下來，
就是一二三、四五六、七八九這叫“九子斜排”。然后“上下對易”就是一和九對調(diào)位置，對調(diào)位置，這個“左右相更”左右兩個數(shù)“更”，“更”也是易就是也對調(diào)位置，就是七和三對調(diào)位置，對調(diào)位置，然后“四維挺出”，
四維就是四個角上這四個數(shù)。“挺出”往四個方向挺出去，挺一下。所以這就是這四句話的意思，這不一“挺出”之后就成了這個洛書的數(shù)字排列。二、九、四、七、五、三、六、一、八。所以楊輝所總結(jié)的
洛書的數(shù)字生成過程非常奇妙，在古代的一些著作當(dāng)中，都對他這種概括給予稱贊，非常簡捷而且非常容易記住。到了清代，李光地的《周易折中》這本書當(dāng)中，就剛才提到的這本書當(dāng)中，他也把楊輝所概括的
這種排列方法也用“陽動陰靜”和“陰靜陽動”這樣的詞來表述，和李光地表述河圖的生成那個過程是一樣的，也用這樣的一個詞語來表述。楊輝所說的“上下對易、左右相更”表述為“陽動陰靜”，因為上下左右這四個數(shù)
都是單數(shù)，就都是陽數(shù)。“對易”和“相更”就是互相對調(diào)位置，是動。二四六八這四個數(shù)不動，這叫靜。他把楊輝這樣的表述方法概括為就是“陽動陰靜”，這樣的一個規(guī)則。在這個動靜過程完成之后
然后再“四維挺出”，就成了洛書的這種排列。但是同時，李光地還有一個提法，他就是在排列方法上面和楊輝的說法又有變化，略有變化，他這樣排列，從下方排，
從下往左上方這樣排，正好和剛才那種排法相反。一二三、四五六、七八九，這樣反著排，排列好之后，就是李光地所說的“陽靜陰動”，四個單數(shù)不動，
四個雙數(shù)互相交換位置，就是這樣交換位置。八和二交換，四和六交換。這樣交換之后，然后再“四維挺出”，往四個方向挺出一些，就成了二、九、四、七、五、三、六、一、八。所以這是這個，李光地他總結(jié)的，
他總結(jié)的方法。所用的詞語“陽動陰靜”或者“陽靜陰動”和剛才他總結(jié)的河圖的數(shù)字排列過程，基本上是一致的，只不過是由于河圖和洛書它數(shù)字不同所以它在形成的過程上略有差別。
所以從剛才所談到的河圖和洛書的數(shù)字構(gòu)成原理來看，這樣的一種構(gòu)成是非常奇妙的，就是無論是從這個狀態(tài)的這個形式，還是這個生成這個過程的這種情況，都是非常奇妙的，非常有趣的。
下面談第二個問題，用洛書原理構(gòu)造所有的奇數(shù)階幻方用洛書原理構(gòu)造所有的奇數(shù)階幻方。這也是我在講這一講當(dāng)中我認(rèn)為是重點的問題。如前所述，洛書是世界上最早出現(xiàn)的一種3階幻方洛書是世界上最早出現(xiàn)的一種3階幻方。這是中國古代文明的驕傲，
并且已經(jīng)得到了全世界的公認(rèn)。當(dāng)代西方數(shù)學(xué)家賴塞在1962年出版的一種權(quán)威性的數(shù)學(xué)著作，開頭就寫道：“中國的大禹，在公元前2200年在一只神龜?shù)谋成峡吹搅巳缦禄梅?，他用阿拉伯?dāng)?shù)字表述那就是294，753，618”
可見這個西方的著名數(shù)學(xué)家他談到這個問題時候，都承認(rèn)中國古代這個洛書的出現(xiàn)是最早的幻方。根據(jù)有關(guān)資料記載，中國之外最早研究幻方的學(xué)者塔比伊本庫拉（約826—901）阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家 天文學(xué)家 物理學(xué)家醫(yī)學(xué)家 哲學(xué)家是阿拉伯的塔比·伊本，他生活于公元9世紀(jì)，就相當(dāng)于中國的唐代后期。
后來到了15世紀(jì)，就是相當(dāng)于中國的明代中期，印度有一個人叫穆曉普魯斯，他才把這個幻方的知識介紹到歐洲。可見歐洲人了解幻方這種形式，是比中國要晚得太多了?；梅皆诋?dāng)代數(shù)學(xué)中稱為組合數(shù)學(xué)，
是數(shù)論的一個分支，是研究“安排”的一門學(xué)科。幻方在數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)儆跀?shù)論的組合學(xué)部分。其定義可以這樣表述：幻方：在n×n的方陣中，放入從1到n2個數(shù)，在一定的布局下，其各行、各列及兩條對角線上的每一組數(shù)字之和都相等。這個和數(shù)叫“幻方常數(shù)”或者稱“幻和”。所謂幻方就是在n×n的方陣中，放入從1到n2個數(shù)，
在一定的布局下，其各行、各列及兩條對角線上的每一組數(shù)字之和都相等。這個和數(shù)叫“幻方常數(shù)”或者稱“幻和”。洛書所表示的3階幻方，其幻方常數(shù)等于15。當(dāng)代對幻方的研究
已經(jīng)達(dá)到了非常高的水平，有很多專著，很多這方面專著。最新的結(jié)論是，階數(shù)大于2的幻方都是可以做出來的。就是任意數(shù)，不管這個數(shù)多大，如果排成這個n×n的方陣，從1到n2這個數(shù)把它填滿，就都可以構(gòu)成這樣的幻方。
當(dāng)然幻方的排列方法也是非常多的，高階次幻方，3階以上幻方種類也是非常多的。據(jù)有關(guān)書籍介紹4階幻方的基本形式有八百八十種5階幻方的基本形式有兩億多種6階以上的幻方種數(shù)數(shù)目非常大4階幻方的基本形式有八百八十種，5階幻方的基本形式就有兩億多種，6階以上的幻方種數(shù)，數(shù)字是非常大的。
幻方的研究有許多專門的著作。我們這里要討論的問題是什么呢？用洛書的基本構(gòu)圖規(guī)則可以破解各種高階次的幻方就是用洛書的基本構(gòu)圖規(guī)則，可以破解各種高階次的幻方。就是我們談的是與我們的洛書有關(guān)的問題。我這里要講的有兩種方法，方法一：用楊輝所概括的洛書的構(gòu)圖規(guī)則破解奇數(shù)階幻方。第一種方法
就是用楊輝所概括的洛書的構(gòu)圖規(guī)則破解奇數(shù)階幻方。因為這個洛書的這種簡單的幻方形式是3階，3是奇數(shù)，所以根據(jù)洛書的規(guī)律，所有的奇數(shù)階幻方都可以利用洛書的構(gòu)圖規(guī)則來構(gòu)成。剛才說的這個洛書的
構(gòu)圖基本規(guī)則，就是楊輝所概括的那幾句話，九子斜排 上下對易 左右相更 四維挺出“九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出。”就是剛才所談到那種情況?，F(xiàn)在如果我們把這樣一種規(guī)則加以推廣，為了解決所有的奇數(shù)階幻方的問題，就是這個規(guī)律，洛書所反應(yīng)的這個規(guī)律能不能具有普遍性，
能不能適合于其它各種奇數(shù)階幻方呢？我們就來探討這樣的問題。為了探討這個問題，我們不如把剛才楊輝所概括的那種方法稍加變化。怎樣變化呢？我們用阿拉伯?dāng)?shù)字來表示，“九子斜排”就是1、2、3、4、5、6、7、8、9，
然后“上下對易，左右相更”這就是“對易”、“相更”之后，換了位置，楊輝說“四維挺出”就是把這個2、4、6、8這4個數(shù)向四個方向“挺出”。我們把這句話加以變化。怎么變化呢？在這個“九子斜排”之后，我們可以看見中間可以形成一個方陣。
如果不把它2、4、6、84個數(shù)四維挺出。我們把這個方陣之外的四邊，邊上的4個數(shù)推進(jìn)去，推入，壓到里面去，實際上是一樣的。把2、4、6、8往四個方向挺出，構(gòu)成294，753，618。我們把中間去掉方陣之后，把四邊邊上那個數(shù)，
往里面推進(jìn)去，推進(jìn)去，推到這個兩個數(shù)之間的空格中間。這樣一推進(jìn)去之后，也同樣是294，753，618。為什么要進(jìn)行這樣一個變化呢？這就是為了讓這種規(guī)律適應(yīng)3階以上的所有的情況。
我在開始看到這個問題的時候，我感到是非常奇妙的，非常奇妙的。所以我們把剛才這一點稍加變化之后，我們就對楊輝的這個幾句話，我們可以做這樣的改動。九子斜排，上下對易 ，左右相更，四維挺出。→九子斜排，中間取方，上下對易，左右相更，四邊嵌入。就是“九子斜排，中間取方，
上下對易，左右相更，四邊嵌入。”這個嵌就是鑲嵌的嵌。如果用這樣的方法，這樣方法如果成立的話，對待3階以上的幻方，我們把這一句話形成一個口訣，實際上就是一個規(guī)律，這樣表述叫做“NN斜排，中間取方，上下對易，左右相更，四邊嵌入。”對易嵌入法口訣：NN斜排，中間取方，上下對易，左右相更，四邊嵌入。
這就是我所認(rèn)為的根據(jù)洛書的基本原理，這樣改建之后，它就成為一種普通的規(guī)律，適用于各個階次的奇數(shù)階幻方，就是各個高階次的奇數(shù)階幻方。
為了說明這個問題，我們首先看比3階，在高一點的奇數(shù)階就是5階，這個5階幻方，怎么用這樣幾句話來做出來。來做出來，所謂NN斜排就是五五斜排了。因為對3來說它是三三斜排，對這個5階幻方來（說）
就是五五斜排。就是這樣一個圖形，1、2、3、4、5，一組數(shù)是5個，6、7、8、9、10，然后15、20、25，這樣排成五行了，排成五行。所謂“中間取方”，就在中間取一個五，邊為五的這樣一個方陣，
從這“中間取方”就這樣一個意思。“上下對易，左右相更”，怎么體現(xiàn)呢？就是我們把所取的這個方陣每邊之外的這一塊，整體的看作一個板塊，看作一個板塊，所謂“上下對易”，就把這個上下兩個板塊來交換位置。左手相更也是，把左右這兩個
每一個方陣以外的這幾個數(shù)，看成一個板塊，交換位置，交換位置之后四邊嵌入，就是把這個四個板塊，在交換位置之后，嵌到這個里面去。這個我們做一下，就可以看出來這個情況。所謂“上下對易”，
就是把上邊這個板塊拿下來，和下邊這個板塊拿到上邊去對易，嵌入就是這樣，整體這個板塊，整體推入，這叫嵌入，嵌到這個空里頭去。下面一樣，整體推入，然后是左右同樣，
這一交換位置之后，整體推入，這叫“上下對易、左右相更、四邊嵌入。”這樣做了之后，就形成了一個這么一個方陣，
這個方陣就是5階幻方。這個可以驗證一下，它的每一橫行，每一豎列，和每一條對角線上的這一組五個數(shù)之和都相等，具有幻方的基本性質(zhì)。好，這一節(jié)就講到這里。
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