散點(diǎn)圖矩陣

我們看到三個(gè)變量?jī)蓛山M合有三種組合，每種組合有兩個(gè)圖形（橫縱軸對(duì)換）。散點(diǎn)圖矩陣對(duì)角線為變量標(biāo)記和變量取值范圍，該變量是其所在行的縱軸變量，是其所在列的橫軸變量。比如第二行第一列的圖縱軸變量是HEIGHT ，橫軸變量是AGE，為身高對(duì)年齡的散點(diǎn)圖。其對(duì)稱位置（第一行第二列）是年齡對(duì)身高的散點(diǎn)圖，兩者只是把橫縱坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)對(duì)調(diào)。

散點(diǎn)圖矩陣除了可以同時(shí)看到多個(gè)散點(diǎn)圖的優(yōu)點(diǎn)外主要是在一個(gè)散點(diǎn)圖中被選中的點(diǎn)在其它散點(diǎn)圖和數(shù)據(jù)窗口中也同時(shí)被選中。這樣，我們可以在一個(gè)圖中選一個(gè)極端點(diǎn)，看它在其它圖中是否也處于極端位置。在一個(gè)散點(diǎn)圖中刷亮的點(diǎn)在其它散點(diǎn)圖中也同時(shí)被刷亮，這樣，我們可以觀察，年齡和身高都比較小時(shí)，體重是否也比較低?？梢砸苿?dòng)刷子，同時(shí)其它散點(diǎn)圖中被選中的點(diǎn)也在變化。從圖 20可以看出，年齡由小到大變化時(shí)身高、體重一般也變大，但同一年齡的學(xué)生的身高、體重差距較大。

SAS/INSIGHT提供了自動(dòng)移動(dòng)刷子的功能。在拖動(dòng)刷子時(shí)松開(kāi)鼠標(biāo)按鈕，類似于“拋出” 刷子，刷子就可以按拋出的方向繼續(xù)移動(dòng)并反彈。不過(guò)現(xiàn)在還較難控制自動(dòng)移動(dòng)的速度，有時(shí)移動(dòng)過(guò)快。

數(shù)據(jù)探索――三維

SAS/INSIGHT對(duì)三維數(shù)據(jù)可以作稱為旋轉(zhuǎn)圖的三維散點(diǎn)圖。比如，要對(duì)SASUSER.CLASS 中的學(xué)生年齡、身高、體重作三維散點(diǎn)圖，在數(shù)據(jù)窗口依次選定AGE、HEIGHT、WEIGHT，然后啟動(dòng)菜單“Analyze | Rotating Plot”,可以生成一個(gè)三維散點(diǎn)圖。圖 21是經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后的圖形。

這種三維散點(diǎn)圖之所以稱為旋轉(zhuǎn)圖，是因?yàn)樽鴺?biāo)系可以在三維空間繞原點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)。圖形的左側(cè)有一個(gè)小工具欄，其中有向上、下、左、右、逆時(shí)針、順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的圖標(biāo)，再往下有一個(gè)滾動(dòng)條，用它來(lái)規(guī)定自動(dòng)旋轉(zhuǎn)的速度。左下角是圖形的菜單（向右的三角形）。

為了旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，單擊左側(cè)的旋轉(zhuǎn)方向圖標(biāo)。按住旋轉(zhuǎn)圖標(biāo)可以連續(xù)旋轉(zhuǎn)。按住Shift或Ctrl 再旋轉(zhuǎn)可以實(shí)現(xiàn)自動(dòng)旋轉(zhuǎn)。當(dāng)鼠標(biāo)光標(biāo)移到圖形的四個(gè)角時(shí)光標(biāo)形狀變成了手的形狀，單擊可以旋轉(zhuǎn)，拖動(dòng)可以連續(xù)旋轉(zhuǎn)，拖動(dòng)時(shí)“拋出”可以自動(dòng)旋轉(zhuǎn)。自動(dòng)旋轉(zhuǎn)中可以隨時(shí)拖動(dòng)圖形以改變旋轉(zhuǎn)方向。

旋轉(zhuǎn)圖的菜單（圖 22）中，Ticks用來(lái)調(diào)整坐標(biāo)軸刻度，Axes可以選坐標(biāo)軸以數(shù)據(jù)中心點(diǎn)為原點(diǎn)、以左端點(diǎn)為原點(diǎn)、不畫(huà)坐標(biāo)軸。Observations指定畫(huà)出所有觀測(cè)，如果沒(méi)有選中此項(xiàng)則只畫(huà)被選中的觀測(cè)。Rays從原點(diǎn)向每個(gè)散點(diǎn)畫(huà)射線。Cube在散點(diǎn)四周畫(huà)一個(gè)長(zhǎng)方體盒子。Depth可以使離視點(diǎn)近的點(diǎn)畫(huà)得較大，離得遠(yuǎn)的點(diǎn)畫(huà)得較小。Fast Draw指定用另一種較快的繪圖方法繪圖。Markers Sizes選擇散點(diǎn)的大小。

圖形的調(diào)整

SAS/INSIGHT提供了很強(qiáng)的調(diào)整繪制的圖形的功能。比如，調(diào)整坐標(biāo)軸的畫(huà)法，點(diǎn)的大小、符號(hào)、顏色，隱藏某些觀測(cè)，等等。

給不同觀測(cè)使用不同的符號(hào)和顏色畫(huà)點(diǎn)有助于迅速區(qū)分不同類觀測(cè)的特點(diǎn)。比如，SASUSER.IRIS 數(shù)據(jù)集中包含了Fisher著名的Iris數(shù)據(jù)，其中有三種不同的鳶尾屬植物的花瓣、花萼長(zhǎng)、寬的測(cè)量數(shù)據(jù)，希望從這些測(cè)量數(shù)據(jù)找出區(qū)分這三種植物的指標(biāo)。為了直觀看到不同植物的測(cè)量數(shù)據(jù)的特征，最好用不同顏色畫(huà)每一種植物的散點(diǎn)。打開(kāi)數(shù)據(jù)集后，選定分類變量SPECIES ，調(diào)用“Analyse / Box Plot / Mosaic Plot”菜單來(lái)作其馬賽克圖，可以看到此變量的三個(gè)值為Virginica、Versicolor、Setosa。用“Edit | Windows | Tools”菜單可以打開(kāi)一個(gè)工具窗口，如圖 23。這個(gè)窗口可以改變觀測(cè)符號(hào)的顏色、符號(hào)，連線的線型、線寬，可以放大圖形局部。

在打開(kāi)的馬賽克圖中先選定Virginica，這時(shí)所有類型Virginica的觀測(cè)被選中，按一下工具窗口中的紅色，就給所有這些觀測(cè)規(guī)定了繪圖符號(hào)為紅色。類似指定Virsicolor 為綠色，Setosa為藍(lán)色。作PETALWID（花瓣寬）對(duì)PETALLEN（花瓣長(zhǎng)）的散點(diǎn)圖，可以作出三種不同植物用不同顏色繪點(diǎn)的散點(diǎn)圖，見(jiàn)圖 24。

利用一個(gè)變量的不同值來(lái)確定觀測(cè)繪點(diǎn)的顏色還可以自動(dòng)進(jìn)行，方法是先選定該變量（如SPECIES ），然后單擊工具窗口的漸變顏色棒，就可以為SPECIES的每一不同值分配一種不同顏色。這一方法不僅適用于SPECIES這樣的名義變量，也適用于數(shù)值型變量。顏色棒的顏色可以調(diào)整，比如要把顏色棒變?yōu)橛杉t到藍(lán)，只要把紅色方塊拖到顏色棒左端，把藍(lán)色方塊拖到顏色棒右端。

為了改變繪點(diǎn)符號(hào)的大小，調(diào)用圖形菜單（圖形邊角上的向右三角符號(hào)）中的Marker Sizes 菜單可以選擇一個(gè)合適的符號(hào)大小。

除了用不同顏色來(lái)區(qū)分不同種類的觀測(cè)外，還可以用不同的符號(hào)來(lái)畫(huà)不同的觀測(cè)。比如，選定SPECIES為Virginica的觀測(cè)后，單擊工具窗口的菱形圖標(biāo)把此類觀測(cè)的繪點(diǎn)符號(hào)變?yōu)榱庑?。類似指定Virsicolor用三角，Setosa用加號(hào)，作的散點(diǎn)圖見(jiàn)圖 24。從圖中可以看出，用加號(hào)繪制的Setosa類和其它兩類差別很大，單靠花瓣的長(zhǎng)、寬就可以把這一類與其它兩類區(qū)分開(kāi)，但是用菱形繪制的Virginica類和用三角繪制的Virsicolor類則在能大體區(qū)分開(kāi)的同時(shí)有少數(shù)觀測(cè)混雜在一起，所以單靠花瓣的長(zhǎng)、寬測(cè)量數(shù)據(jù)不能把這兩兩很好地區(qū)分開(kāi)。

利用一個(gè)分類變量來(lái)決定不同的繪點(diǎn)符號(hào)除了上述的對(duì)每一類觀測(cè)分別選定，然后指定繪點(diǎn)符號(hào)的辦法，還可以選定這一分類變量，然后單擊工具欄中繪點(diǎn)符號(hào)下面的多種符號(hào)的長(zhǎng)棒形圖標(biāo)，可以自動(dòng)為每一類分配一個(gè)繪點(diǎn)符號(hào)。

不同類觀測(cè)用不同的顏色和符號(hào)來(lái)繪點(diǎn)是一種強(qiáng)有力的數(shù)據(jù)探索手段，恰當(dāng)使用可以直觀地發(fā)現(xiàn)不同類型觀測(cè)的區(qū)別。

分布研究

SAS/INSIGHT提供了很強(qiáng)的一維分布研究功能。對(duì)連續(xù)型變量，除了可以畫(huà)直方圖、盒形圖外，還可以作各種統(tǒng)計(jì)表，比如矩、分位數(shù)表，可以在直方圖上畫(huà)擬合密度曲線，可以檢驗(yàn)分布是否來(lái)自正態(tài)、對(duì)數(shù)正態(tài)、指數(shù)、威布爾分布，等等。對(duì)離散型變量，可以畫(huà)馬賽克圖、條形圖、頻數(shù)表。

為了研究SASUSER.CLASS中身高的分布，在未選中變量的情況下，啟動(dòng)“Analyze | Distribution(Y) ”菜單，出現(xiàn)圖 25的選擇變量對(duì)話框：

選Y變量為HEIGHT，按OK可以打開(kāi)一個(gè)新窗口，顯示身高的直方圖、盒形圖、矩統(tǒng)計(jì)量表（圖 26）：

分位數(shù)表（圖 27）：

各統(tǒng)計(jì)量是SAS中經(jīng)常使用的，我們?cè)诖思右哉f(shuō)明。設(shè)變量為 ，各觀測(cè)值為 。有時(shí)每個(gè)觀測(cè)還帶一個(gè)加權(quán) ，在沒(méi)有指定加權(quán)變量時(shí)認(rèn)為加權(quán)恒為1。

 

• N－觀測(cè)個(gè)數(shù)

   

   

• Sum Wgts－加權(quán)和

   

   

• Mean－均值

   

   

• Sum－總和

   

   

• Std Dev－標(biāo)準(zhǔn)差

   

   

• Variance－方差

   

   

• Skewness－偏度

   

   

• Kurtosis－峰度

   

   

• USS－加權(quán)平方和

   

   

• VSS－加權(quán)離差平方和

   

   

• CV－變異系數(shù)

   

   

• Std Mean－均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差

其中加權(quán)的常見(jiàn)情形是當(dāng)一個(gè)觀測(cè)實(shí)際代表完全相同若干個(gè)樣品時(shí)，求和、平方和等都要加權(quán)。比如，第i個(gè)觀測(cè)代表 個(gè)樣品時(shí)，求變量Y的真正總和就需要用加權(quán)公式 。偏度可以表現(xiàn)變量分布的偏斜，負(fù)值為左偏，正值為右偏。峰度表現(xiàn)變量分布與正態(tài)分布相比是重尾（分布函數(shù)在正負(fù)無(wú)窮處衰減緩慢）還是輕尾（分布函數(shù)在正負(fù)無(wú)窮處衰減迅速）。標(biāo)準(zhǔn)誤差在統(tǒng)計(jì)中是一個(gè)十分重要的概念，它代表估計(jì)量作為隨機(jī)變量其標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)，這里的Std Mean是均值的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)，實(shí)際計(jì)算公式是 ，而均值的理論標(biāo)準(zhǔn)差為 。如果估計(jì)量服從正態(tài)分布，通常用估計(jì)量加減兩倍標(biāo)準(zhǔn)誤差作為估計(jì)量的置信區(qū)間。

分位數(shù)表中，Max是最大值，Q3是四分之三分位數(shù)，Med是中位數(shù)（反映數(shù)據(jù)中心位置），Q1 是四分之一分位數(shù)，Min是最小值，Range是最大值減最小值，Q3－Q1為四分位間距，可以反映數(shù)據(jù)取值分散程度，Mode是眾數(shù)，即出現(xiàn)最多的值。

在打開(kāi)了身高分布的窗口之后主菜單中的Tables、Graphs、Curves菜單被開(kāi)放。在Tables 菜單中可以選加一些統(tǒng)計(jì)表，比如Frequency Table是頻數(shù)表，為每一觀測(cè)值的頻數(shù)、累計(jì)頻數(shù)、百分比，C.I. for Mean可以計(jì)算均值的各種置信度的置信區(qū)間，Location Tests用于檢驗(yàn)均值為某常數(shù)值（一般是0）的假設(shè)，可以用t檢驗(yàn)、符號(hào)檢驗(yàn)、符號(hào)秩檢驗(yàn)，Gini's Mean Difference 是變量分布分散程度的一種穩(wěn)健估計(jì)，計(jì)算公式為 ，對(duì)正態(tài)分布其期望值為 。Trimmed Mean, (1/2)N計(jì)算去掉最大(1/2)N 個(gè)和最小(1/2)N個(gè)值后的平均值，(1/2)N可以指定為1，2，3或自定值，這是變量中心位置的一種穩(wěn)健估計(jì)，但估計(jì)量本身不再服從正態(tài)分布。Trimmed Mean, (1/2)Percent指定去掉最大、最小的百分之多少再計(jì)算均值。Winsorized Mean是把最大的(1/2)N個(gè)替換成由大到小第(1/2)N ＋1號(hào)值，把最小的(1/2)N個(gè)替換成由小到大第(1/2)N＋1個(gè)值，然后計(jì)算的均值，它也是一種穩(wěn)健的均值估計(jì)。

在Graphs菜單中已選了直方圖、盒形圖，還可以作QQ圖，即分位數(shù)－分位數(shù)圖。

圖 28為身高的正態(tài)QQ圖，其中畫(huà)出了班上19個(gè)學(xué)生的19個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為變量值，而橫坐標(biāo)為該值的累計(jì)百分比頻數(shù)對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分位數(shù)。比如，身高最低的一個(gè)為51.3，其累計(jì)百分比頻數(shù)（即51.3的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)值）為5.3%，即身高小于51.3的占5.3%，而標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的0.053分位數(shù)為-1.84570，所以此點(diǎn)的橫坐標(biāo)即-1.84570。如果身高服從正態(tài)分布，QQ圖的散點(diǎn)應(yīng)大致在一條直線附近變動(dòng)。QQ圖的各種不同形狀能夠反映出變量分布的偏斜情況和重、輕尾情況。在QQ圖中也可以選觀測(cè)、刷亮等。畫(huà)出QQ圖后選主菜單中的“Curves | QQ Ref Line ”可以為圖中散點(diǎn)畫(huà)一條擬合直線。

圖 28的身高的QQ圖顯示身高基本服從正態(tài)分布。如果我們畫(huà)SASUSER.GPA中GPA分?jǐn)?shù)的QQ 圖（圖 30）：

就可以看到GPA的分布呈現(xiàn)左偏的情況。這是因?yàn)椋赒Q圖的左下端，GPA散點(diǎn)的走向比正態(tài)（圖中直線）偏下，說(shuō)明GPA分布的左尾比正態(tài)長(zhǎng)；在QQ圖的右上端，GPA散點(diǎn)的走向比正態(tài)偏右下，說(shuō)明GPA分布的右尾比正態(tài)短，即分布左偏。作為驗(yàn)證，可以看一看的圖 29直方圖：

圖 32給出了與正態(tài)相比左偏、右偏、輕尾、重尾的分布的QQ圖的典型模式：

除了可以作正態(tài)分布QQ圖外，還可以作對(duì)數(shù)正態(tài)、指數(shù)分布、威布爾分布的QQ圖。對(duì)數(shù)正態(tài)要指定參數(shù)Sigma，威布爾分布要指定形狀參數(shù)C。

SAS/INSIGHT為研究一維變量分布除畫(huà)直方圖外還提供了兩類 分布密度估計(jì)：參數(shù)估計(jì)和非參數(shù)估計(jì)。參數(shù)估計(jì)可以擬合正態(tài)、對(duì)數(shù)正態(tài)、指數(shù)、威布爾分布密度。非參數(shù)估計(jì)使用核估計(jì)。

比如，為了估計(jì)身高的正態(tài)密度并把密度曲線疊加在直方圖上，選“Curves | Parametric Density ”，彈出對(duì)話框圖 31：

指定正態(tài)分布且方法為用樣本估計(jì)分布密度參數(shù)。按OK后作出的圖見(jiàn)圖 33：

為了作身高密度的核估計(jì)圖，選“Curves | Kernel Density”，彈出一個(gè)對(duì)話框，可以選三種核函數(shù)：正態(tài)核、三角核、二次函數(shù)核，可以自動(dòng)擬合最優(yōu)的密度估計(jì)（方法為AMISE ）或者自己指定平滑參數(shù)C。見(jiàn)圖 33。

作了密度曲線圖后在圖形下面將出現(xiàn)顯示密度估計(jì)主要參數(shù)的表格，見(jiàn)圖 34：

單擊其中的曲線標(biāo)志可以加亮顯示圖中的曲線。對(duì)參數(shù)密度估計(jì)，給出了估計(jì)的參數(shù)，比如正態(tài)的均值、方差；對(duì)核估計(jì)，給出了核函數(shù)類型，及平滑參數(shù)值。有些參數(shù)旁邊有一個(gè)滑塊，可以手工選擇參數(shù)的值。比如拖動(dòng)核估計(jì)中的平滑參數(shù)，此參數(shù)變小時(shí)估計(jì)的曲線變粗糙，變大時(shí)曲線變光滑。

在“Curves”菜單中還提供了對(duì)樣本經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的估計(jì)。選“Curves | Empirical CDF ”即繪制樣本經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。選“Curves | CDF Confidence Band”并選一個(gè)置信限可以在經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)兩邊畫(huà)分布函數(shù)的置信限，見(jiàn)圖 35：

用經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)估計(jì)分布函數(shù)相當(dāng)于用直方圖估計(jì)分布密度。分布函數(shù)也可以用參數(shù)分布函數(shù)（如正態(tài)分布）來(lái)估計(jì)。選“Curves | Parametric CDF”并選分布類型可以畫(huà)出估計(jì)的分布函數(shù)。圖 35中的光滑曲線即用正態(tài)分布估計(jì)身高的分布函數(shù)。

SAS/INSIGHT還可以進(jìn)行分布檢驗(yàn)，可以檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否來(lái)自某一類分布（參數(shù)未知），或檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否來(lái)自某一特定分布（參數(shù)已知）。選“Analyze | Test for Distribution”，并選擇是檢驗(yàn)正態(tài)、對(duì)數(shù)正態(tài)、指數(shù)、威布爾分布中哪一個(gè)，選正態(tài)后，得到圖 36的結(jié)果。

它給出了分布類型、估計(jì)的分布均值、標(biāo)準(zhǔn)差，及Kolmogorov D統(tǒng)計(jì)量的值，并給出了檢驗(yàn)H0 ：樣本來(lái)自正態(tài)分布的檢驗(yàn)p值（Prob > D）為>.15，說(shuō)明檢驗(yàn)結(jié)果不顯著，不能否定正態(tài)假設(shè)。

如果要檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否來(lái)自某一特定分布，選“Curves | Test for a Specific Distribution ”，并指定分布類型、分布參數(shù)，可以計(jì)算檢驗(yàn)的Kolmogorov D統(tǒng)計(jì)量及相應(yīng)p值。圖 37是檢驗(yàn)身高是否標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的結(jié)果，可以看出p值為0.0001高度顯著，應(yīng)該否定數(shù)據(jù)來(lái)自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的假設(shè)。

說(shuō)明：在SAS中，統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果一般用檢驗(yàn)的p值給出。這與我們習(xí)慣的做法稍有不同，以單正態(tài)總體的均值檢驗(yàn)為例。假設(shè)我們要檢驗(yàn)SASUSER.CLASS中學(xué)生的身高是否均值為零（這當(dāng)然不可能，我們?yōu)楹?jiǎn)單起見(jiàn)用這種假設(shè)），設(shè)總體服從 ，要檢驗(yàn)的零假設(shè)為 ，水平0.05，統(tǒng)計(jì)量使用t統(tǒng)計(jì)量 ，一般我們用的假設(shè)檢驗(yàn)方法定否定域?yàn)閃={|t|>C} ，其中C為n-1自由度t分布的雙側(cè)0.05分位數(shù)（Pr{|t|>C}=0.05），當(dāng)用樣本算出的t統(tǒng)計(jì)量的值（如t=A）落入否定域時(shí)（|A|>C）否定零假設(shè)。在SAS中不需要這樣指定否定域，它可以先用樣本計(jì)算出t統(tǒng)計(jì)量的值（A），如果這個(gè)A絕對(duì)值很大就否定零假設(shè)，t統(tǒng)計(jì)量絕對(duì)值值是不是很大可以用這樣一個(gè)p=Pr{|t|>|A|}來(lái)衡量，p是一個(gè)0到1之間的數(shù)值，顯然|A| 越大，p越小。p<0.05與|A|>C是等價(jià)的。所以，如果p小于0.05，就否定零假設(shè)，稱檢驗(yàn)結(jié)果是顯著的。否則不否定零假設(shè)。對(duì)SASUSER.CLASS中HEIGHT變量，在其分布窗口中選菜單“Tables | Location Tests”并從彈出的對(duì)換框中選中t檢驗(yàn)，要檢驗(yàn)的均值為0，得到的結(jié)果見(jiàn)圖 38。計(jì)算得到的t統(tǒng)計(jì)量值為A＝52.9971，p值為Pr{|t|>52.9971}小于等于0.0001 。因p值小于0.05所以結(jié)果是否定零假設(shè)，結(jié)論是身高均值不為零。

SAS/INSIGHT還提供了曲線擬合、回歸、logistic回歸、Poisson回歸、相關(guān)分析、主成分分析等高等統(tǒng)計(jì)功能，我們后面再陸續(xù)介紹。