“流”的探索

張江

2007.8

    流動是復(fù)雜系統(tǒng)中的普遍現(xiàn)象之一，從看得見的流動，例如：水流、人流；到看不見的流動，如：電流、能量流、熱流；再到更加抽象的：貨幣流、信息流 等等，似乎如果一個系統(tǒng)是復(fù)雜的，它的內(nèi)部就一定存在著各種流動。那么是否存在著某個普遍的規(guī)律制約著這些流動呢？答案應(yīng)該是肯定的，雖然這種規(guī)律仍然 “猶抱琵琶半遮面”，但是近年來有關(guān)生態(tài)學(xué)、非平衡態(tài)統(tǒng)計物理的研究已經(jīng)逐漸逼近它，各種跡象表明，一種統(tǒng)一的可以描述復(fù)雜系統(tǒng)中“流動”現(xiàn)象的通用規(guī)律 即將“橫空出世”。我們?yōu)槭裁磿ダ虾退劳?？大象為什么比蟑螂吃得多而繁殖得少？少?shù)大公司為什么能壟斷市場？城市的交通網(wǎng)絡(luò)為什么與動物體內(nèi)的血管那么 相似？也許這些問題最終都能在這套新理論中找到答案。本文的目的就是想引領(lǐng)讀者趕上復(fù)雜性研究前沿的步伐，親身體驗這些激動人心的科學(xué)發(fā)現(xiàn)。

    本篇文章分為三章：   一、流動與冪律  二、分形輸運網(wǎng)絡(luò)  三、通向理論

一、流動與冪律

1、流量與存量

     假設(shè)你是一個公司的老板，正在運營一家擁有M億元固定資產(chǎn)的企業(yè)，那么，你要保證每個月凈盈利多少億F才能使你的企業(yè)能夠維持下去？很顯然，這個問題取決 于你這個公司每個月燒多少錢。由于每個月你都需要給你的員工開工資、需要交房租、需要購買新的電腦，那么這些花費的總和一定是一個與M有關(guān)的量。一般來 說，M越大，公司每個月的花費F也越大，你需要為更多的人開工資、需要維護更昂貴的計算機設(shè)備，因此每個月公司需要賺取的凈盈利也就越大。那么F和M究竟 存不存在著某種數(shù)量關(guān)系呢？
    不要著急回答這個問題，讓我們先來看看大自然。大自然有各種各樣的物種，每個物種都有著不同的重量（body mass）。同時每個物種都需要新陳代謝，它們需要不停的從外界環(huán)境獲取能量資源以維持自身的生命。如果設(shè)一個物種的平均重量是M，它的新陳代謝量是F， 那么一般來說M越大F也越大。大象要維持生存一天總要比老鼠吃的多得多。
    對比這兩個問題，我們會發(fā)現(xiàn)它們有著下面的類比關(guān)系：

公司<->物種
固定資產(chǎn)<->平均重量
每月的凈盈利<->新陳代謝
貨幣<->能量

    廣義上說，這樣的問題屬于一種流量和存量的問題。由于公司的月盈利以及生物的新陳代謝都是一種流量，而固定資產(chǎn)和生物的重量都是一種存量。公司或者生物需要進行廣義的新陳代謝從外界獲取資源而轉(zhuǎn)化成內(nèi)部的存量。我們可以形象地用下圖表示這個關(guān)系：

     物種和公司就好比是這個大水缸，只不過一個存的是錢，另一個存的是能量。由于這個存量M會由于熱力學(xué)第二定律（無序度持續(xù)增加）而不斷地衰退，也就是說這 個水缸是漏的，每時刻都有一個流出Fo，例如公司要計算各種固定資產(chǎn)的折舊費、生物則會因為新陳代謝而不斷消耗著能量，因此，它需要不斷補給流入Fi以維 持M。當Fi=Fo的時候，系統(tǒng)的流入和流出平衡了，M就是不變的了。我們稱這種狀態(tài)為 穩(wěn)衡態(tài)（steady state） ，即一種動態(tài)之中的平衡。
    不難想象，這里討論的類似流、存儲等概念并沒有限定為具體的能量流或者貨幣流，因此，這是一種廣義的流的問題，它普遍存在于各種復(fù)雜系統(tǒng)之中。你 不妨自己尋找一下這個隱喻在城市系統(tǒng)、計算機系統(tǒng)、互聯(lián)網(wǎng)、經(jīng)濟系統(tǒng)等系統(tǒng)中的應(yīng)用。

2、神奇的數(shù)字3/4

     下面，我們來具體探討存量M究竟和流量F是一種什么關(guān)系。最早發(fā)現(xiàn)M與F之間存在著明確關(guān)系的是在生物界。1932年，一個叫Max Kleiber的生物學(xué)家對各種鳥類、哺乳類動物的尺寸M與新陳代謝F之間的關(guān)系進行了測量，并將它們的對數(shù)值畫到一張圖中，發(fā)現(xiàn)所有的數(shù)據(jù)點都排列到了一條直線上，如圖：

    這說明，F(xiàn)與M之間的確存在著一種冪律關(guān)系也就是其中F₀和b都是常數(shù)。經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)，這個直線的斜率b接近于3/4這個數(shù)。這個關(guān)系后來又被Brody證實，小到老鼠，大到大象，新陳代謝和生物體重量之間的關(guān)系都符合確定的關(guān)系式：

     其中，F(xiàn)0是一個與M無關(guān)的常數(shù)。隨后，Hemmingsen又將這個結(jié)論擴展到了更多的物種，小到單細胞生物大到白鯨，它們的新陳代謝和生物量的關(guān)系都服從冪律分布：

     （這個符號的意思是指F和M^3/4成比例。雖然對于不同的物種集合來說F₀有可能不同，但是指數(shù)3/4卻都是一樣的）。因為對于生物來說，它的體積（Body Size）是與重量呈正比的，所以，這個關(guān)系也表達了新陳代謝和體積V的關(guān)系：

     仔細分析這個公式發(fā)現(xiàn)，它符合我們的直覺，即越大的生物體需要更大量的能量來維持自己的新陳代謝。一頭大象顯然要比一只老鼠吃得多。其次，這個公式也有反 直覺的一方面。一般我們?nèi)似毡檎J為F與M是呈一種正比的關(guān)系即F~M。這樣，當生物體體積增長10000倍的時候，它的新陳代謝也同樣增長10000倍。 然而，根據(jù)，事實卻是當生物體增長10000倍，它的新陳代謝卻僅僅增長1000倍，要小于線性增長的關(guān)系。因此，生物體為了維持每單位體積所需要的新陳代謝的能量是，反而會隨著體積的增大而減小。因此，大象比老鼠能夠更有效率利用吸收來的能量，即越大越好，所以3/4律蘊含了一種“規(guī)模效益”。

3、異速生長尺度規(guī)律（Allometric scaling）

     當我們有了3/4律，還可以得到更多有意思的推論。因為我們可以把生物體理解為一個盛水的水缸，新陳代謝作為一種流動不斷更新這個水缸里面的水。那么，我 們考慮一單位新陳代謝吸收的能量會在水缸中平均逗留多長時間而被排出？經(jīng)過很簡單的計算可以得出，這個時間大概是：

     即與重量呈1/4的冪律關(guān)系。經(jīng)過試驗驗證人們發(fā)現(xiàn)，生物體的各種時間量，例如壽命、發(fā)育時間、懷孕時間都與它的重量的1/4呈正比。因為時間的倒數(shù)就是 頻率，因此，不難推論生物的各種頻率（即快慢程度），如：心跳頻率、出生率、死亡率（出生率與死亡率是針對整個種群而言的）都與M呈-1/4的冪律關(guān)系， 即：

     這里面的Q是生物的任何一種“頻率”。這也就是說個頭越大的生物，它的一切活動就會顯得越慢，個頭越小的則一切活動都越快。這很符合我們的經(jīng)驗觀察：小老鼠喜歡不停的跳來跳去的，而大象則移動身軀都很費勁。（參考James Brown的文獻）

    上面的水缸比喻實際是一個生物體能量利用的簡化版本，生物體吸收能量之后不僅僅能維持生存，而且還能進行運動、捕食、生育后代、學(xué)習(xí)文化知識，這些活動都需要消耗能量，因而，水缸之中的水流動就會得到一幅更復(fù)雜的生物體內(nèi)能量流圖，詳細請看這里。

    所有這些生物體的冪律關(guān)系有個統(tǒng)一的名稱叫做：異速生長尺度律（Allometric scaling）。這里的Scaling就是指的各種生物量與生物體的體積大小有關(guān)，它們會隨著生物體尺度的變化而變化。而異速生長則是指這種關(guān)系不是與 尺度呈正比，即增長多少體積就會增長多少新陳代謝，而是呈現(xiàn)各種冪律關(guān)系，也就是說它們的增長速度是不同的。

4、無處不在的流動與冪律

     本文開篇就指出，流動是一種普遍存在的現(xiàn)象，那么3/4冪律分布關(guān)系是否也能推廣到各種復(fù)雜系統(tǒng)之中呢？答案是半對半錯。3/4這個特定的數(shù)字可能不再成立，然而冪律關(guān)系是普遍存在的，下面我們來看幾個具體的例子。
    我們可以把城市比喻成一個生命系統(tǒng)，它也需要不斷的從外界吸收各種物質(zhì)、能量資源，也會像現(xiàn)實生物一樣成長、發(fā)育、衰老。從這個角度看，給城市供 給的各種能量、物質(zhì)資源就相當于是輸入到城市中的流或城市的新陳代謝，而消費這些能量、物質(zhì)的人就可以看作是這個城市的存量，或者尺寸。城市越大，它能供 養(yǎng)的人越多，因而需要的能量和物質(zhì)也就越多。
    德國的Christian Kuhnert等人就將德國各個城市的人口數(shù)（相當于M）和供給該城市的總電能（即F）進行了統(tǒng)計，并把這兩個量的對數(shù)值畫在一張圖上得到了近似直線的分布曲線：

     發(fā)現(xiàn)這條直線的斜率近似1.1，即。 另外，他還統(tǒng)計了歐洲各個國家不同城市的人口數(shù)量與加油站數(shù)量、郵局的數(shù)量、飯館的數(shù)量等量（這些量都可以看作是廣義的流量F）之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)類似的冪 律分布曲線也可以得到，并且冪律指數(shù)一般都接近于1。這個例子說明，流量與存量這對關(guān)系在一切復(fù)雜系統(tǒng)中都有著相似的數(shù)量關(guān)系。（參考Kuhnert的文獻）

    為什么越窮的國家或地區(qū)越愿意生孩子？而越富有的國家則生育率極低？生物學(xué)家Melaine Moses 對美國在不同時期的平均每人消耗的資源和這一年的生育數(shù)量的對數(shù)值畫到曲線上，得到了下圖：

     其中對于整個國家來說人均資源消耗就相當于是新陳代謝率F。在前面討論的各種冪律關(guān)系中，有一個關(guān)系是出生率與生物體尺度的關(guān)系：，同時我們知道 ，這樣不難得到： ，這也就是上圖統(tǒng)計出來的對數(shù)圖中的直線表示的?？磥?，在強大的新陳代謝流動的自然規(guī)律面前，我們?nèi)祟惒]有多大的選擇權(quán)利。（參考Moses的文獻）

    讓我們回到一開始的公司規(guī)模問題。是否公司的資產(chǎn)規(guī)模也和公司的盈利存在著類似的這種冪律分布關(guān)系，甚至是不是這個分布的指數(shù)就是3/4呢？就筆 者目前掌握的資料來看，沒有人做過這個統(tǒng)計。但是，關(guān)于公司尺寸的分布存在著一個相關(guān)的冪律分布，這就是公司的規(guī)模與這種規(guī)模的公司數(shù)量之間存在著冪律分 布關(guān)系： ，其中b是一個正數(shù)。也就是說公司規(guī)模越大，相應(yīng)的數(shù)量越小。這個關(guān)系已經(jīng)被很多社會學(xué)家證明了，并且在社會學(xué)中，這個規(guī)律有個特定的名字叫做Zipf律。它也許可以間接證明存量與流量的冪律關(guān)系。（參考Axtell的文獻）

     如果將經(jīng)濟系統(tǒng)中的公司與生態(tài)系統(tǒng)中的生物體之間的類比是正確的，那么，我們有理由相信由能量流驅(qū)動構(gòu)造的生物與由貨幣流驅(qū)動構(gòu)造的公司遵循著同樣的規(guī) 律。這樣不僅僅流量和存量之間服從著冪律分布關(guān)系，而且其他的有關(guān)時間尺度、頻率與存量之間的冪律關(guān)系也可能試用。像生物一樣，小公司好比是老鼠，相對靈 活多變，但是平均壽命也短；而大公司就好比是大象，體積龐大、反應(yīng)緩慢，但實力雄厚，存在的壽命也長。
    讓我們放眼大千世界，這樣的流量與存量、時間與規(guī)模之間的矛盾和關(guān)系幾乎到處存在，所以最初來源于生物學(xué)的3/4律的發(fā)現(xiàn)也許蘊藏著一切復(fù)雜系統(tǒng)共有的規(guī)律。

請繼續(xù)：  二、分形輸運網(wǎng)絡(luò)