例11 現(xiàn)有1克，2克，4克，8克，16克的砝碼和各一枚，問在天秤上能稱多少種不同重量的物體？

解 用枚舉法可以討論此題。

　　1，2，1＋2＝3，4，1＋4＝5，2＋4＝6，1＋2＋4＝7，……，1＋2＋4＋……＋16＝31?？梢苑Q1～31克共31種不同重量的物體（只能是整克數(shù)）。

　　用二進制研究此問題，更簡便。砝碼的克數(shù)正好是二進制的各數(shù)位的單位：1，2，2²，2³，2⁴。用它們表示的最大數(shù)是11111（2）＝2⁴＋2³＋2²＋2＋1＝31而11111（2）＝100000（2）－1＝2⁵－1＝31。不大于31的所有自然數(shù)都可以表示。

　　思考 用1克，2克，4克，8克，16克，32克，64克在天秤上可稱哪些重物？

例12 說明2³⁰⁰－1能被7整除。

　　7＝8－1＝23－1＝1000（2）－1＝111（2）；

　　300÷3＝100

　　所以2³⁰⁰－1能被7整除。

　　此題也可以用下面方法證明：2≡2（mod7）

　　2²≡4（mod7）

　　2³≡1（mod7）

　　2³⁰⁰＝（2³）¹⁰⁰≡1¹⁰⁰≡1（mod7）

　　2³⁰⁰－1≡0（mod7）。